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domingo, 24 de abril de 2011

Sistemas de equações: resolução algébrica e gráfica

René Descartes, ao inventar o plano cartesiano, reuniu a Aritmética, a Álgebra e a Geometria em um só contexto e nos ofereceu um novo sentido a Matemática. A possibilidade de transformar equações do 1º grau, com 2 variáveis, em gráficos e vice-versa nos mostra formas distintas para se confirmar a solução de um problema. Hoje, principalmente como professores de Matemática, sabemos da importância em apresentar aos nossos alunos diferentes caminhos para solucionar um problema e isso ajuda a maioria dos estudantes a compreender melhor as ideias envolvidas. Para entendermos melhor, vamos encontrar os valores de x e y que satisfazem, ao mesmo tempo, as equações do sistema abaixo utilizando tabelas, através do método da substituição e também do método da adição e em seguida vamos representar a solução gráfica. Usando tabelas:
Fazendo as devidas transformações algébricas obtemos o sistema equivalente:

E montamos uma tabela para cada equação com algumas das soluções. A solução comum é a solução do sistema. Portanto o par de números x = 7 e y = 3 é a solução do sistema.

O método da substituição:
A partir do sistema equivalente temos:



substituindo na 2ª equação o valor de x por 10 - y temos
para encontrar o valor de x fazemos:
Obtivemos outra vez os valores x = 7 e y = 3

O método da adição:
Novamente a partir do sistema equivalente, adicionamos* membro a membro os termos

Agora consideramos a equação que você achar mais simples no sistema para achar y:

A solução gráfica:
A partir dos pares indicados na tabela podemos marcar os pontos no plano cartesiano e obter as duas retas. O ponto de intersecção entre as duas retas é a solução do sistema.

Portanto o par de números ( 7 , 3 ) é de fato a solução do sistema.


Para finalizar podemos perceber que, de modo geral, num sistema formado por duas equações do 1º grau com duas variáveis pode ocorrer:
a) uma única solução: graficamente teremos duas retas concorrentes;
b) nenhuma solução: graficamente teremos duas retas paralelas;
c) infinitas soluções: graficamente teremos duas retas coincidentes.
_______________
*A adição só se faz conveniente quando anula o coeficiente de uma das incógnitas, caso contrário multiplica-se por um fator os termos de uma das equações de forma a tornar conveniente e anular um dos coeficientes das incógnitas.

8 comentários:

  1. bem legal oie professor carlos estou como saudades das suas aulas suas explicacoes e otima aqui e a camilla do pratici da 7 serie a de 2011 to com muita saudade da escola e dos meus colegas bom e isso que eu tenho pra dizer e professor carlos continue sendo um bom professor

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  2. Oi Camila,

    Obrigado pelo carinho... saudades também.

    Prof. Carlos

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  3. Este comentário foi removido por um administrador do blog.

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  4. Muito bom parabéns lembra de mim professor estudei com vc ano passado me colocava altas vezes para fora da sala

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  5. gostei mas posta mais estou precisando mas valeu apena

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  6. OOi cara tem como voçe postar exercicios ai ? para eu treinar em casa ? pois tenho uma prova

    ResponderExcluir
  7. Olá caro "anônimo", procure aqui no blog pelo link CEM, pois nesta página tenho uma sequência de atividades cada uma com 100 questões que pode lhe ajudar. Olhe o material e depois me diga o que achou ok? T+

    Prof. Carlos

    ResponderExcluir

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