Uma festa e a elegância na resolução de problemas

    Num dia destes, nas aulas do 1º ano do ensino médio com os alunos organizados em grupos, todos prontos para “rachar o coco”, propus a resolução de uma sequência de problemas escolhidos “a dedo” cujo principal objetivo era apurar o aparato matemático que cada aluno tinha. Caminhava entre os grupos na sala de aula com intenções de observar e sugerir caminhos mais adequados para solucionar alguns dos problemas quando fiz uso da palavra “elegância” em solucionar problemas. Estava, com isso querendo dizer que existem problemas que podem ser solucionados por diferentes modos, mas existem procedimentos ou soluções do ponto de vista do conhecimento matemático que são mais adequados ao momento em que o estudante se encontra, ou seja, existem soluções que são mais elegantes. A palavra em si causou estranheza entre os alunos. Elegância!!! Como assim professor? O que tem de elegante em resolver problemas de Matemática? Esse “post” servirá para estendermos um pouco mais aquela conversa que iniciei.

Do livro As maravilhas da Matemática de Malba Tahan, vou destacar o texto intitulado “Homens e Mulheres Numa Festa Mal Organizada” que também faz referência ao termo elegância na resolução de problemas:

“O homem da gravata preta ergueu-se, fechou o livro que estava lendo, aproximou-se do cavalheiro gordo e disse-lhe em voz baixa:

- Tive a impressão, professor, de que a festa literária de hoje não foi bem organizada. Foi péssima. Posso garantir: foi péssima. No princípio, o número de mulheres era o dobro do número de homens; terminada a conferência do Dr. Segadas Antunes, que foi aliás chatíssima, enervante, retiraram-se oito casais. Veja bem: Oito casais.

- E então? Que ocorreu?

Respondeu o homem da gravata preta, com ar misterioso:

- A situação, a meu ver, piorou. E piorou muito. O número de mulheres tornou-se igual a quatro vezes o número de homens. E não era isso que o nosso presidente queria. A sua ideia era obter maioria masculina.

Poderá você, meu amigo, depois dessa pequena e indiscreta conversa, entre os dois amigos, calcular com precisão matemática quantos homens e quantas mulheres havia na tal reunião mal organizada?

Solução:

O problema é facílimo. Pode ser resolvido, em dois tempos, por meio de tentativas. O elegante, porém, para o bom matemático, será resolvê-lo com os recursos prodigiosos da Álgebra, recorrendo a um sistema de duas equações com duas incógnitas. Um problema, com duas equações, sempre impressiona melhor o leitor.Vejamos:

Chamemos x o número de mulheres; y o número de homens. Ao ser iniciada a animadíssima reunião literária a situação numérica era a seguinte:

x = 2.y                     (A)

É essa a primeira equação do problema e exprime que o número de mulheres (x) era exatamente igual ao dobro do número de homens (y). Terminada a conferência (que o homem da gravata preta considerou chatíssima), retiraram-se 8 casais, isto é, 8 mulheres e 8 homens. Ficaram, pois, na sala:

(x – 8) mulheres    ;    (y – 8) homens.

E como o número de mulheres, nessa ocasião, tornou-se quatro vezes maior do que o número de homens, podemos escrever:

x – 8 = 4.(y – 8)                     (B)

É essa a segunda equação do problema. Resolvido o sistema, formado pelas duas equações (A) e (B), achamos:

x = 24     e     y = 12

Estaria o Dr. Segadas Antunes, o ilustre conferencista, incluído nessa conta?”

É isso aí... a elegância pode se apresentar também na resolução de problemas e sempre que possível devemos buscar a solução mais apropriada, a mais elegante. Por fim, vou lhes apresentar o problema que despertou tanta discussão sobre a tal elegância.

Alice tem 50 moedas, algumas de 10 centavos e outras de 25 centavos. Se as moedas de 10 centavos fossem as de 25 centavos e as de 25 centavos fossem as de 10 centavos, Alice teria R$ 2,70 a mais do que tem agora. Qual é a diferença entre a quantidade de moedas de 25 centavos e a quantidade de moedas de 10 centavos?

Consegue resolver de forma elegante?