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domingo, 30 de agosto de 2015

Vamos falar de semelhança na Geometria Espacial ?


Dois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais.


Dessa forma:

k é chamado razão de semelhança.
• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, perímetros, inraios, circunraios, etc.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre as áreas é .
• Considerando os resultados acima, na geometria espacial, quando temos dois sólidos semelhantes, dizemos que a razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança, isto é, .

Exemplo:
Numa pirâmide com altura de 30 cm e área da base igual a 150 cm². Usando semelhança de sólidos geométricos, podemos determinar a área da secção superior do tronco de pirâmide obtido quando seccionamos paralelamente à base e a 17 cm dela. Veja:

Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção transversal), podemos concluir que:

h = 30 – 17 = 13 e desta forma a razão de semelhança entre a pirâmide menor (acima do corte) e o tronco de pirâmide (abaixo do corte) é k = 13/30 ;

  ,  Assim


Logo, a área da secção é aproximadamente igual a 28,2 cm².

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