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domingo, 18 de abril de 2010

Fração geratriz e uma pergunta: 0,999... é igual a 1?

Estudantes da educação básica (EB) ficam perplexos quando nas aulas de Matemática afirmamos que 0,999... é igual a 1 (e portanto 1,999... = 2 ; -8,999... = -9 ; -0,31999... = -0,32). A maioria dos estudantes, mesmo os concluintes do ensino médio, quando questionados, afirmam que 0,999... é uma aproximação de 1 e não exatamente o número 1. Entre os matemáticos 0,999... representa o número da soma 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + 0,00009 + ... e que converge para o valor 1. Para os alunos da EB dizemos que 0,9 é uma aproximação de 1, outra aproximação maior é 0,99 e ainda mais próxima é 0,999 e conforme aumenta a quantidade de noves após a vírgula nos aproximamos mais ainda de 1. Más 0,999... (com uma infinidade de algarismos 9 após a vírgula) é exatamente 1 e não uma aproximação. Essa é uma idéia bastante intuitiva, mas válida num primeiro momento para chegarmos a um consenso sobre a igualdade 0,999... = 1. O conceito de fração geratriz pode nos auxiliar nessa tarefa sem aprofundarmos o tema, pois aqui não seria oportuno. Fração geratriz é a fração que gera (dá origem) um determinado número racional na forma decimal. Facilmente comprovamos que: 2/3 ou 6/9 é a fração geratriz de 0,666... e também 1/3 ou 3/9 é a fração geratriz de 0,333... . Bom, então sendo 0,666... + 0,333... = 0,999... e 6/9 + 3/9 = 9/9 = 1 seria lógico dizer, portanto que 0,999... = 1. Para os estudantes, fazer conversões da forma fracionária para a decimal ou da decimal para a fracionária é simples e necessário. Aceitar a igualdade como verdade absoluta é outra questão. Existem pelo menos dois procedimentos vistos na EB que comprovam a igualdade 0,999... = 1, más a idéia não é aceita naturalmente e, portanto a grande maioria dos estudantes nessa fase não se convence da igualdade. Uma das maneiras de apresentar a igualdade e comum nos livros da EB é:

Os símbolos 0,999... e 1 representam a mesma ideia. E agora como você entende a questão? Dá pra afirmar que a igualdade é verdadeira? Então responda: Quanto vale 0,888... + 0,222...?

10 comentários:

  1. Este comentário foi removido pelo autor.

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  2. legal ,gostei muito de acessar esse site,traz muitos descobrimentos

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  3. nossa, tava dando aula sobre isso e eu não sabia explicar pq pela conta 0,999... dava 1. Ajudou-me muito. :D
    Valeu ;)

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  4. e a segunda senhorita de cima para baixo precisa melhorar o português

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  5. 1º estágio - Princípio básico da matemática >>> n=n(SEMPRE)
    2º estágio - Princípio básico desmentido >>> 0,999...=1 logo n pode ser diferente de n.
    3º estágio - A matemática é destruída.
    4º estágio - Tudo vira um caos, tudo é paradoxal e contradizente.
    5º estágio - não sabemos de nada e lá se vai mais de 5000 anos de construção da matemática.

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  6. Rsrsrs... Adorei!!! Caro anônimo... vc deveria ter se identificado. Vc me lembrou um raríssimo e brilhante aluno que tive em minhas aulas. Bom..., mesmo assim tá publicado seu comentário. Antes que me esqueça... os 5000 anos de construção da Matemática... estão salvos. Garantidos!

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  7. Muito boa essa explicação teórica

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  8. Professor , Meu nome é Ronald E gostaria de saber por que 0,999... = 1 e 0,999 Não é . Meu professor explicou mas nao entendi muito bem.

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  9. COmo fica a resposta da pergunta que o Profº , mandou ? 8/9 + 2/9 = 10/9 = 1,11111... ?

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  10. Olá Ronald,

    0,999 é um decimal exato (não existe mais nenhum 9 após o 3º nove) e é equivalente à soma 9/10 + 9/100 + 9/1000 e nada mais. Diferente de 0,999... que corresponde à soma de uma sequência com infinitos termos:

    9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + 9/100000 + ...

    Sobre a questão 8/9 + 2/9 é isso mesmo, 10/9
    Na verdade essa questão é pra realçar o seguinte:

    1 - 0,4 = 0,6
    1 - 0,44 = 0,56

    e isso pode fazer com que algumas pessoas fiquem na dúvida qual é o resultado de:

    1 - 0,444... que no caso é 0,555... ok?

    Grato pelos comentários

    Prof.Carlos

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