Estudantes da educação básica (EB) ficam perplexos quando nas aulas de Matemática afirmamos que 0,999... é igual a 1 (e portanto 1,999... = 2 ; -8,999... = -9 ; -0,31999... = -0,32). A maioria dos estudantes, mesmo os concluintes do ensino médio, quando questionados, afirmam que 0,999... é uma aproximação de 1 e não exatamente o número 1. Entre os matemáticos 0,999... representa o número da soma 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + 0,00009 + ... e que converge para o valor 1. Para os alunos da EB dizemos que 0,9 é uma aproximação de 1, outra aproximação maior é 0,99 e ainda mais próxima é 0,999 e conforme aumenta a quantidade de noves após a vírgula nos aproximamos mais ainda de 1. Más 0,999... (com uma infinidade de algarismos 9 após a vírgula) é exatamente 1 e não uma aproximação. Essa é uma idéia bastante intuitiva, mas válida num primeiro momento para chegarmos a um consenso sobre a igualdade 0,999... = 1. O conceito de fração geratriz pode nos auxiliar nessa tarefa sem aprofundarmos o tema, pois aqui não seria oportuno. Fração geratriz é a fração que gera (dá origem) um determinado número racional na forma decimal. Facilmente comprovamos que: 2/3 ou 6/9 é a fração geratriz de 0,666... e também 1/3 ou 3/9 é a fração geratriz de 0,333... . Bom, então sendo 0,666... + 0,333... = 0,999... e 6/9 + 3/9 = 9/9 = 1 seria lógico dizer, portanto que 0,999... = 1. Para os estudantes, fazer conversões da forma fracionária para a decimal ou da decimal para a fracionária é simples e necessário. Aceitar a igualdade como verdade absoluta é outra questão. Existem pelo menos dois procedimentos vistos na EB que comprovam a igualdade 0,999... = 1, más a idéia não é aceita naturalmente e, portanto a grande maioria dos estudantes nessa fase não se convence da igualdade. Uma das maneiras de apresentar a igualdade e comum nos livros da EB é: 
domingo, 18 de abril de 2010
Fração geratriz e uma pergunta: 0,999... é igual a 1?
Os símbolos 0,999... e 1 representam a mesma ideia. E agora como você entende a questão? Dá pra afirmar que a igualdade é verdadeira? Então responda: Quanto vale 0,888... + 0,222...?
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Este comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirlegal ,gostei muito de acessar esse site,traz muitos descobrimentos
ResponderExcluirnossa, tava dando aula sobre isso e eu não sabia explicar pq pela conta 0,999... dava 1. Ajudou-me muito. :D
ResponderExcluirValeu ;)
e a segunda senhorita de cima para baixo precisa melhorar o português
ResponderExcluir1º estágio - Princípio básico da matemática >>> n=n(SEMPRE)
ResponderExcluir2º estágio - Princípio básico desmentido >>> 0,999...=1 logo n pode ser diferente de n.
3º estágio - A matemática é destruída.
4º estágio - Tudo vira um caos, tudo é paradoxal e contradizente.
5º estágio - não sabemos de nada e lá se vai mais de 5000 anos de construção da matemática.
Rsrsrs... Adorei!!! Caro anônimo... vc deveria ter se identificado. Vc me lembrou um raríssimo e brilhante aluno que tive em minhas aulas. Bom..., mesmo assim tá publicado seu comentário. Antes que me esqueça... os 5000 anos de construção da Matemática... estão salvos. Garantidos!
ResponderExcluirMuito boa essa explicação teórica
ResponderExcluirProfessor , Meu nome é Ronald E gostaria de saber por que 0,999... = 1 e 0,999 Não é . Meu professor explicou mas nao entendi muito bem.
ResponderExcluirCOmo fica a resposta da pergunta que o Profº , mandou ? 8/9 + 2/9 = 10/9 = 1,11111... ?
ResponderExcluirOlá Ronald,
ResponderExcluir0,999 é um decimal exato (não existe mais nenhum 9 após o 3º nove) e é equivalente à soma 9/10 + 9/100 + 9/1000 e nada mais. Diferente de 0,999... que corresponde à soma de uma sequência com infinitos termos:
9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + 9/100000 + ...
Sobre a questão 8/9 + 2/9 é isso mesmo, 10/9
Na verdade essa questão é pra realçar o seguinte:
1 - 0,4 = 0,6
1 - 0,44 = 0,56
e isso pode fazer com que algumas pessoas fiquem na dúvida qual é o resultado de:
1 - 0,444... que no caso é 0,555... ok?
Grato pelos comentários
Prof.Carlos