Potências, pais, avós, bisavós, ...

O emprego da palavra "potência", em Matemática, é atribuído a Hipócrates de Quio (470 a.C.), que escreveu o primeiro livro de geometria elementar e provavelmente, tenha servido de referências para os Elementos de Euclides. Hipócrates indicou o quadrado de um segmento pela palavra dynamis, cujo sentido era exatamente potência. Existem motivos para se crer que a generalização do uso da palavra potência resulte do fato dos Pitagóricos terem enunciado o resultado da proposição I.47 dos Elementos de Euclides sob a forma: “a potência total dos lados de um triângulo retângulo é a mesma que a da hipotenusa”. Portanto, o significado original de “potência” era potência com expoente dois, somente passadas algumas décadas se estendeu o sentido para potências com expoentes diferentes de dois. Lembramos ainda que a notação atualmente usada aparace no livro Géometrie (1637) de René Descartes. (1596-1650). Lá ele escreve: “aa ou a² para multiplicar a por si e a³ para indicar a multiplicação de a por a² e deste modo infinitamente”. Mas e os pais, avós, bisavós, ... o que têem a ver com as potências? Bom... vamos admitir (pois existem, atualmente, outras possibilidades) que para cada ser humano fossem necessários um pai e uma mãe e assim cada pessoa tem dois pais, quatro avós, oito bisavós, dezesseis trisavós e assim por diante. Nesse último duplo milênio quantos são os nossos ancestrais? Para resolvermos a essa questão, recorremos ao conceito de potência cuja notação "b elevado a n" está representada abaixo e definimos a operação de potenciação como produto de n fatores iguais a b:

O número b, fator que se repete, chama-se base; o número n, que indica a quantidade de vezes que b irá se expor como fator, chama-se expoente e o resultado dessa operação potência. Assim no exemplo: 2³ = 8, 2 é a base, 3 é o expoente e 8 é a potência. Recordando nossa questão, se imaginarmos que a vida média de cada geração é de cinqüenta anos, cada século corresponde a duas gerações.

Assim, se recuarmos um século, encontraremos para cada um de nós 6 ancestrais ( 2 + 4 ). Em dois séculos, encontraremos a quantidade de 30 ancestrais (30 = 16 + 8 + 4 + 2). Recuamos mil anos no tempo, obteremos 2.097.150 ancestrais. Quando voltamos dois mil anos ao passado, chegamos a um número impressionante que possui 13 algarismos. Assim, uma pessoa que venha ao mundo agora, terá, (ou teve) nesse último duplo milênio, 2.199.023.255.550 ancestrais:

Essa população que nos antecede seria maior que a população mundial atual! Há algo muito curioso e contraditório em nossa árvore genealógica! Você consegue perceber as potências em outras situações?