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segunda-feira, 25 de julho de 2011

O desconhecido Teorema de Pitágoras

Se algum dia for necessário fazer uma única pergunta a um jovem que terminou a educação básica, com o intuito de constatar se ele possui ou não bons conhecimentos de Matemática, muito provavelmente faria essa: Você sabe demonstrar o Teorema de Pitágoras pelo menos de duas formas diferentes?
O Teorema de Pitágoras é um dos mais belos e importantes teoremas da Matemática de todos os tempos, seja pela simplicidade, aplicabilidade ou pela posição que ocupa na história do conhecimento matemático. Para um bom estudante, conhecê-lo é uma questão de honra. E olha que já ouvi gente falando que ele não deveria ser mais ensinado. Muita coisa aconteceu a partir dele. Desde o século 5 a.C. até o século 20 d.C. inúmeras demonstrações do teorema apareceram. Em 1940, o matemático americano E. S. Loomis publicou o livro The Pythagorean Proposition com 370 demonstrações.
Vamos a uma das demonstrações (bela pela simplicidade de conceitos). Um triângulo é denominado triângulo retângulo quando um de seus ângulos internos mede 90º. O lado a, oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa e os demais b e c são chamados catetos.
A área do quadrado maior, logo abaixo, de lado (b + c) é:

(b + c)² = b² + 2bc + c² (*)

A área do triângulo retângulo de lados a, b e c é:

(b×c)/2

observe que temos 4 triângulos retângulos e devemos multiplicar esta área por 4:

4×[(b×c)/2] = 2bc (**)

Logo para sabermos a área do quadrado menor, de lado com medida a, subtraímos da área do quadrado maior (*) a área dos quatro triângulos retângulos (**) :

a² = (b + c)² – 2bc
a² = b² + 2bc + c² – 2bc
a² = b² + c²

e assim em um triângulo retângulo qualquer, de lados medindo a, b e c, sendo a a medida da hipotenusa e portanto o lado oposto ao ângulo reto, b e c, sendo catetos, lados que formam o ângulo reto, concluímos que:
“A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos.”

Infelizmente nós temos estudantes que estão terminando a educação básica e não tiverão a oportunidade de apreciar tal demonstração. Posso provocar? Tente demonstrar de outra maneira o tal teorema, mas não vale imediatamente ir consultar o santo Google. (mesmo sabendo que existem boas referências sobre o tema na rede)

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