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domingo, 30 de junho de 2013

Relação trigonométrica fundamental na circunferência


Como concluir, a partir da circunferência trigonométrica, que a relação sen²x + cos²x = 1 é verdadeira?

Vejamos antes algumas idéias relacionadas. Uma circunferência orientada, de raio unitário (r = 1), sobre a qual um ponto A é a origem da medida de todos os arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica. Veja:

Suponha um ponto P sobre essa circunferência de tal forma que este ponto define um arco de circunferência AP, qualquer, de medida x em radianos ou em graus. Suponha ainda que os eixos Ox e Oy do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos (AB, BC, CD e DA) de mesma medida (90º ou pi/2 rad) e dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes numerados no sentido anti-horário, como vemos na ilustração acima.

Dizemos que seno do arco x é a ordenada ON do ponto P, projetada sobre o eixo Oy, ou seja, sen x = ON. Veja a ilustração:
Dizemos também que cosseno do arco x é a abscissa OM do ponto P, projetada sobre o eixo Ox. ou seja, cos x = OM. Veja a ilustração:
Dessa forma o triângulo OMP é retângulo em M, portanto, pelo teorema de Pitágoras, temos:

MP² + OM² = OP²

Como MP = ON = sen x,  OM = cos x  e  OP = 1 (o raio é unitário)
Então podemos escrever:

MP² + OM² = OP²      sen²x + cos²x = 1

Essa relação importante, válida para todo x real, recebe o nome de relação trigonométrica fundamental e a partir dela podemos estabelecer outras relações:
Por exemplo:

• 1 + tg²x = sec² x
• 1 + cotg²x = cossec² x

Existe uma outra maneira de comprovar essa relação através das razões trigonométricas no triângulo retângulo. Assista aqui . 

  *Esse post é um pedido de uma jovem graciosa

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