Quando os ponteiros se encontram

Medir o tempo é uma antiga e importante atividade humana que envolve muita ciência e Matemática. Perceber que o dia sucede a noite e a noite sucede o dia provavelmente foi a primeira observação para se dividir o tempo. Fracionar o dia em horas, minutos e segundos foi uma conseqüência natural. Entre os instrumentos de medida temos primeiro os gnomons (os relógios de sol), clepsidra (relógio de água), ampulheta (relógio de areia), lamparina (relógio de fogo), o relógio mecânico de pesos, o relógio totalmente mecânico por volta do ano 1271, o relógio de mola por volta de 1515, os relógios de pêndulo por volta de 1657, só no começo do século XX é que foram sendo substituídos pelos relógios de pulso. Um pouco mais tarde veio o relógio elétrico e em 1930, foi construído o primeiro relógio a cristal de quartzo. Em 1954 inventaram o relógio atômico muito mais preciso que o de quartzo, chegando a medir intervalos de tempo da ordem de milionésimos de segundo. No meu dia-dia utilizo um relógio digital, más confesso que relógios de ponteiros são interessantes. Muito frequentemente nos deparamos em situações ou com problemas que envolvem esses instrumentos. Hoje venho provocar você com um.

Num relógio de ponteiros você saberia dizer que horas são quando os dois ponteiros coincidem entre as 16 e 17 horas da tarde?

Vamos lá... o movimento do ponteiro dos minutos, tem velocidade maior que a velocidade do ponteiro das horas, ou seja, quando o ponteiro dos minutos gira 2pi rad (360°) o ponteiro das horas gira apenas pi/6 rad (30º). Então, entre as 16h e 17h, o ponteiro dos minutos dará um giro de (4pi/6 + a) ou seja, (120º + a) e o ponteiro das horas abrirá, em relação à posição que estava, um ângulo central de medida a radianos. Podemos assim montar uma tabela:

E em seguida, de acordo com a proporção, encontrarmos o valor de a :
Agora montamos uma tabela relacionando o tempo de uma volta do ponteiro dos minutos com o ângulo a conhecido:

portanto:

Transformando 1309,1 s em minutos e segundos temos: 21min e 49s. Ou seja, os dois ponteiros coincidem às 16h 21min e 49s. Ficou claro pra você? Então responde: E se fosse entre as 18h e 19h, que horas seriam quando os ponteiros estivessem sobrepostos?