Função: História e personagens

A noção de função foi-se construindo e aperfeiçoando-se ao longo de vários séculos. Pesquisas (Luchetta, 2000, Freire, 2005) revelam que é possível detectar sinais de que os Babilônios teriam já uma idéia, ainda que vaga, de função. São de fato, conhecidas tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas utilizadas por aquele povo na antiguidade, nomeadamente na Astronomia.

Também os Pitagóricos estabeleceram relações entre grandezas físicas, como por exemplo, “altura de sons e comprimentos das cordas vibrantes” na descoberta de algumas leis da Acústica, já os astrônomos na época Alexandrina construíram tabelas para os comprimentos de cordas de um círculo, conhecido o raio. O registro de algumas dessas tabelas estão na obra “Almageste” do célebre matemático – Ptolomeu, publicada entre os anos 125 e 150 d.C.

Botelho (1992) descreve em seu artigo que na antiguidade duas civilizações aparecem como precursoras na utilização da idéia de dependência funcional, os babilônios e os gregos. De fato em torno de 2.000 a.C. no reinado de Seleucids, eram por eles usadas tabelas de funções de pelo menos dois tipos: funções-escada e funções zig-zag lineares para compilação de efemérides do sol, da Lua e dos Planetas. Na verdade a idéia de função matemática esteve sempre ligada historicamente com a evolução do conhecimento de correspondências físicas, e neste aspecto o progresso feito pelos babilônios na tabulação e interpolação de dados astronômicos é notável. Mas ainda, essas funções tabeladas serviram de base matemática para todo o desenvolvimento posterior da astronomia.

Os babilônios foram talvez os mais infatigáveis compiladores de tabelas aritméticas da história, porém os gregos tinham uma maneira muito particular para expressar seus pensamentos, o que hoje muito nos dificulta entender o que por eles foi escrito.

No século XIV, o conceito de função começou a ser visto como algo mais geral, detectado nas escolas de filosofia natural de Oxford e de Paris, onde alguns pensadores, como R. Grosseteste e R. Bacon afirmavam que a matemática é o principal instrumento de estudo dos fenômenos naturais. É nessa época que ocorre o ressurgimento da matemática como objetivo de preocupação dos cientistas. Embora não fossem matemáticos esses dois pensadores, eles foram os primeiros a defender a importância da matemática nos currículos escolares.

Esta associação com os fenômenos naturais facilitou intensamente aos matemáticos o trabalho de generalizar o conceito de função, tanto que já no século XIV os estudiosos possuíam uma clara noção de função no sentido geral, embora não tenham conseguido formalizar adequadamente tal conceito (ou não diagnosticaram tal necessidade).

A contribuição mais importante nesta época foi dada por T. Bradwardine , em 1328, ao considerar relações funcionais para analisar criticamente o ponto de vista de Aristóteles acerca da natureza das forças que causam movimentos. Mas Bradwardine não foi o pioneiro neste estudo, uma vez que J. Filoponus, sábio bizantino que viveu em Alexandria, já havia estudado algo semelhante no século VI. A relevância do trabalho de Bradwardine foi em relação à retomada desses estudos.

Outro cientista medieval de grande importância foi Nicole d’Oresme (1323-1382), um gênio intelectual e provavelmente o pensador mais original do século XIV, economista, matemático, físico, astrônomo, filósofo, psicólogo e musicólogo, foi o descobridor da curvatura da luz através da refração atmosférica, embora até os dias de hoje, o crédito por esse feito tenha sido dado a Robert Hooke.

Por volta de 1361, d’Oresme fez um esboço daquilo que hoje chamamos de representação gráfica de funções, ao traçar um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com velocidade constante. Pela primeira vez um sistema de coordenadas estava sendo utilizado para a representação de uma quantidade variável. Já se percebe que o desenrolar dos acontecimentos sinaliza uma clara preocupação no sentido de se abstrair das funções estudadas isoladamente, e que as investigações e questionamentos serviram de preparação para a grande revolução cientista que não tardaria a acontecer. Esta primitiva forma de se apresentar funções graficamente foi um tópico popular desde o tempo de Oresme até o de Galileu. Esta fase contribuiu basicamente com o renascimento da matemática e de outras ciências.

No início da Idade Moderna, as funções analíticas, geralmente expressas por séries de potências infinitas, logo se tornaram as mais usadas. Mas estes progressos, que se sedimentaram no século XVII, são devidos a fatos ocorridos anteriormente.

Alguns fatores que tiveram lugar no século XVI foram de fundamental importância para o notável desenvolvimento verificado no século XVII, inclusive pela atenção devotada às funções analíticas.

Conforme pesquisa, encontramos relatos de vários nomes que fizeram parte da história da matemática, contribuindo para estudos preliminares sobre o conceito de função.

François Viète (1540-1603), também conhecido como Franciscus Vieta, foi um matemático francês. Seus trabalhos matemáticos são relacionados aproximadamente a sua cosmologia e trabalho na astronomia. Desempenhou um papel importantíssimo nesta época, ao criar, em 1591, a álgebra simbólica, que deu origem a toda simbologia matemática usada até hoje, onde as quantidades desconhecidas eram denotadas por vogais A, E, I, O, U, e os seus parâmetros por consoantes B, C, D, F,.., todas do alfabeto latino.

John Napier (1550-1617), considerado o inventor dos logaritmos, não era matemático profissional. Como Barão de Murchiston, administrava suas propriedades e escrevia sobre vários assuntos. Trabalhou durante anos nos logaritmos, antes de publicar seus resultados, que surgiram em 1614 na obra “Uma Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos”.

A palavra logaritmo usada por Napier, em 1614, provocou repercussão imediata, e um dos interessados em seus métodos, Henry Briggs, o visitou em 1615, propondo o uso das potências de 10, de comum acordo, estabeleceram que log1 = 0 e log10 = 1. Mas Napier, já estava no fim de sua vida e coube a Briggs efetuar uma tábua de logaritmos decimais.

A descoberta dos logaritmos, cuja primeira tábua foi publicada em 1614 por Napier, onde os cálculos são feitos sem o conceito de função, e são baseados apenas na clara observação de uma relação funcional específica.

Pierre de Fermat (1601-1665) foi um matemático e cientista francês. Ao se investigar a produção matemática de Fermat, percebe-se facilmente a característica amadora predominante em seus trabalhos, na verdade com pouquíssimas exceções, ele não publicou nada em vida e nem fez qualquer exposição sistemática de suas descobertas e de seus métodos, tinha as questões da matemática mais como desafios a serem resolvidos.

Considerado o príncipe dos amadores, Pierre de Fermat nunca teve formalmente a matemática como a principal atividade de sua vida. Jurista e magistrado por profissão dedicava à matemática apenas suas horas de lazer e, mesmo assim, foi considerado por Pascal o maior matemático de seu tempo.

Contudo, seu grande gênio matemático passou ao longo de muitas gerações, fazendo com que varias mentes se curvassem com respeito sob seu legado, que era composto por contribuições nas mais diversas áreas da matemática, as principais: cálculo geométrico e infinitesimal; teoria dos números; e teoria da probabilidade.

As contribuições de Fermat para o cálculo geométrico e infinitesimal foram inestimáveis. Ele obtinha, com seus cálculos, a área de parábolas e hipérboles, determinava o centro de massa de vários corpos, etc. Em 1934, Louis Trenchard Moore descobriu uma nota de Isaac Newton dizendo que seu cálculo, antes tido como invenção independente, fora baseado no “Método de Monsieur Fermat Para Estabelecer Tangente”.

René Descartes (1596-1650) filósofo e matemático francês nasceu em La Haye e morreu em Estocolmo. Estimulado a realizar pesquisas nos campos da física e da matemática, publicou varias obras, dentre as quais La Géométrie, em 1637.

Na primeira fase de La géométrie, Descarte já havia estabelecido seu objetivo; “Todo problema de geometria pode ser reduzido de tal forma que o conhecimento dos comprimentos de certos segmentos basta para a construção”. Com essa afirmação, podemos notar que seu objetivo era geralmente uma construção geométrica, e não necessariamente a redução da geometria a álgebra.

Pouco há nesse tratado que se assemelhe ao que hoje chamamos de geometria analítica, não há nada de sistemático sobre coordenadas retangulares, pois ordenadas obliquas, foram geralmente usadas, não há, portanto, fórmulas para distância, inclinação e ângulo entre retas.

Utilizando esses dividendos produzidos pelo século XVI, e aplicando a nova álgebra à geometria, Fermat e Descartes, na primeira metade do século XVII inauguraram uma nova era na matemática, ao apresentarem o método analítico para se introduzir espaço função. A inovação consistia no uso de equações para representar e analisar as relações entre as variáveis conectadas com uma curva.

Em seu tratado “La Géométrie”, de 1637, Descartes fornece muitos detalhes sobre a idéia de se introduzir funções analiticamente. É ele também quem diz pela primeira vez, que “uma equação em x e y é um meio de se introduzir uma dependência entre as quantidades variáveis de modo a propiciar o cálculo de valores de uma delas correspondente a um dado valor da outra”. Nessa época o pensamento funcional predominou, e o método analítico de se tratar funções jamais deixou de ser utilizado. Entretanto a análise cartesiana era centrada basicamente nas curvas, e estas eram vistas apenas como uma materialização da relação entre x e y e não como gráfico de uma função y = f(x).

Descartes restringiu o tratamento analítico às funções algébricas, deixando de fora inclusive às curvas mecânicas que formam objetos de profundos estudos na Grécia antiga. Essa restrição era um problema para a teoria de Descartes, uma vez que uma maneira única de representar todas as funções (pelo menos aquelas então já conhecidas) era um objetivo claro a ser atingido. Uma solução temporária para este problema foi conseguida nos meados do século XVII, com os trabalhos de vários matemáticos (P. Mengoli, N. Mercator, J. Gregory, I. Newton) que independentemente uns dos outros, descobriram como desenvolver funções em séries de potências infinitas, o que possibilitou a representação analítica de todas as relações funcionais conhecidas na época.

Essa foi uma descoberta extremamente importante, tanto que é colocada, em termos de importância, ao lado das outras grandes contribuições científicas de Newton (O Teorema Binomial, As Leis da Mecânica Clássica, A Criação do Cálculo e A Teoria da Gravitação). De acordo com P. Boutrox, teoria de desenvolvimento de funções em séries de potências foi a mais original, notável e vantajosa da componente da nova matemática proposta por Newton e Leibniz. Um dos principais trabalhos de Newton chama-se “O Método dos Fluxos e Séries Infinitas”.

Importante também foi à publicação “Duas Novas Ciências” de Galileu, em 1638 (quase simultânea a La Géométrie de Descartes), livro, que além de inaugurar a Mecânica Moderna, é totalmente impregnado na noção de funcionalidade. As relações funcionais eram expressas por palavras e na linguagem das proporções, mas Galileu deixava claro o trato com variáveis e funções, tanto que bastou apenas mais um passo (a evolução do simbolismo algébrico) para que estas relações fossem escritas na forma simbólica.

Isaac Newton (1642-1727) físico, astrônomo e matemático inglês. Contribuiu enormemente para o desenvolvimento da geometria analítica: “Enumeração de Curva de 3° Grau”, escrito por volta de 1676, é o mais antigo exemplo de obra dedicada unicamente a gráficos de curvas planas de grau superior.

Newton anotou cerca de 72 espécies de cúbicas e traçou cuidadosamente uma curva de cada espécie, pela primeira vez, são usados sistematicamente dois eixos. Entre as propriedades das cúbicas indicadas nesse trabalho, está a de que uma curva de 3° grau não pode ter mais de três assíntotas, assim como uma cônica não pode ter mais de duas e também a de que, assim como todas as cônicas são projeções do círculo, também todas as cúbicas são projeções de uma parábola divergente y2 = ax³ + bx² + cx + d.

Por volta de 1671, no método dos fluxos, Newton sugeriu oito novos tipos de sistemas de coordenadas, dois dos quais são hoje chamados de coordenadas polares e bipolares. Ele elaborou também, equações para transformar coordenadas retangulares em polares. A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios de cálculo infinitesimal, ela surgia de uma forma um tanto confusa nos “fluentes” e “flexões” de Newton (1642-1727). Newton aproxima-se bastante do sentido atual de funções com a utilização dos termos “relatia quantias” para designar variáveis dependentes, e “genita” pra designar uma quantidade obtida a partir de outras por intermédio das quatro operações aritméticas fundamentais.

A teoria de desenvolvimento de funções em séries de potências foi a mais notável componente da nova matemática proposta por Newton e Leibniz. 

Gottfried Wilthelm Leibniz (1646-1716) nascido em Leipzig entrou aos quinze anos na universidade o obteve o grau de bacharel aos dezessete. Sem dúvida, sua maior contribuição, simultaneamente com Isaac Newton, foi o cálculo diferencial e integral. 

Deve-se também a Leibniz o uso do ponto para identificar a multiplicação e dois pontos para a divisão. Também o sinal de = (igual) é devido a Leibniz e Newton. Suas contribuições foram enormes na área de notações. O termo função foi usado inicialmente por Leibniz, quase no mesmo sentido que se usa hoje. 

Por ter estudado teologia, direito, filosofia e matemática, é às vezes considerado o último dos sábios a obter conhecimento universal. Leibniz, contemporâneo de Newton, trabalhou paralelamente, mas independentemente de Newton, chegou às noções básicas do cálculo desenvolvendo-as a partir da geometria das curvas. É claro que o conceito de função se encontra entre essas noções básicas, e foi com Leibniz que a palavra função aparece impressa pela primeira vez, 1676, particularmente no manuscrito “The Methodus Tangentum Inversa, Seu de Functionibus”. Leibniz se refere às funções como parte de linhas retas, isto é: segmentos obtidos pela construção de linhas retas infinitas correspondentes a um ponto fixo e a pontos de uma curva dada.

Galileu Galilei (1564-1642) foi um notável físico, matemático e astrônomo italiano. É considerado um dos maiores gênios da história da humanidade, como Leonardo da Vinci, Isaac Newton e Albert Einstein, tendo seu QI estimado em cerca de 240. Em seu livro “Duas Novas Ciências”, as relações funcionais eram expressas por palavras e na linguagem das proporções, mas Galileu deixava claro o trato com variáveis e funções, tanto que bastou apenas a evolução do simbolismo algébrico para que estas relações fossem escritas na forma simbólica.

Leonhard Euler (1707-1793) nascido em Basiléia (Suíça), foi sem dúvida o matemático que mais produziu artigos e textos em toda a história da matemática. Apesar de ter ficado cego nos últimos dezessete anos de sua vida, publicou mais de quinhentos livros e artigos. Em quase toda sua produção científica usou linguagem e notação muito próximas das dos dias atuais.

Nenhum outro matemático produziu e contribuiu tanto para a forma da matemática de nível superior quanto Euler. A notação f(x), usada para uma função de x, foi apresentada pela primeira vez por ele no artigo “Comentários de Petersburgo” para 1734-1735, dessa época em diante, a idéia de função veio a surgir em vários artigos de análise matemática.

Foi também o primeiro a tratar com logaritmos usando a forma exponencial e a ele também são devidas às notações sem, cós, tang, cot, sec e cossec, muito próximas das que hoje usamos. De acordo com o método de trabalho, diagnosticou a necessidade de uma formalização do conceito de função, e elaborou de funções bem detalhadas como:

· Constante: quantidade definida que assume um e somente um valor;

· Variável: quantidade indeterminada, ou universal, que comporta em si mesma todos os valores determinados;

· Função: uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta, de qualquer maneira, por esta quantidade variável e números ou quantidades constantes.

Paralelamente ao trabalho de tentar definir corretamente o conceito de função, Euler também contribuiu decisivamente para que esta busca se tornasse um objetivo premente. A necessidade de generalização ficou mais flagrante ainda quando o próprio induziu as funções de uma variável complexa. Estas, ao contrário das funções reais de uma variável real, não tinham os apelos geométricos imediato de curvas ou gráficos, e sem o apoio de visualização, aumenta a necessidade de definições mais precisas e cuidadosas, uma vez que um grau muito alto de abstração é exigido. Com isso, o tratamento isolado de funções torna-se um procedimento totalmente obsoleto. 

Jakob Bernoulli (1654-1705) foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.

Publicou a primeira integração de uma equação diferencial; deu solução ao problema dos isoperímetros, que abriu caminho ao cálculo das variações de Euler e Lagrange e estendeu suas principais aplicações ao cálculo das probabilidades. É considerado o pai do cálculo exponencial. Foi professor de matemática em Basiléia, tendo sido importantíssima sua contribuição à geometria analítica, à teoria das probabilidades e à variação do cálculo.

Em 1713, depois de sua morte, foi publicado seu grande tratado sobre a teoria das probabilidades “Ars Conjectandi” que ainda oferece interesse prático na aplicação da teoria da probabilidade no seguro e na estatística. Jakob Bernoulli usa esse sentido no “Acta Eruditorum”. Tanto Leibniz quanto Jakob gostariam de usar o termo função para representar expressões analíticas, tanto que o próximo passo foi à compreensão de função como expressões analíticas arbitrárias. 

Johan Bernoulli (1667-1748) foi um matemático suíço. Estudou inicialmente medicina. Seu irmão Jakob Bernoulli ensinou-lhe matemática, juntos desenvolveram trabalhos que precediam em muito o cálculo de Gottfried Leibniz, foi acusado de ter roubado idéias de seu irmão Jakob. Fez importantes pesquisas sobre cálculo exponencial, foi o primeiro a reportar função como uma expressão analítica arbitrária em seu artigo sobre a solução do problema isoperimétrico. Em 1697 introduziu a notação X ou ε (épsilon) para uma função da variável x.

Johan Bernoulli, em um artigo de 1718 revê sua posição e sugere a letra grega Φ (phi) para caracterizar funções. Mas o argumento ainda era escrito sem os atuais parênteses: Φ x. Neste mesmo artigo de 1718, Johan apresenta a definição explícita de função mais remota de que se tem notícia: “Definição: chama-se de função de uma grandeza variável uma quantidade composta de qualquer modo da variável e de constantes quaisquer”. 

Bernard Bolzano (1781-1848) matemático checo depois de estudar teologia, filosofia e matemática foi ordenado sacerdote em 1805. Professor de religião em Praga e matemático, em 1820 foi proibido de exercer qualquer atividade acadêmica devido às posições críticas sobre as condições sociais vigentes no Império Austro-húngaro. Os estudos científicos de Bolzano foram muito avançados para o seu tempo, nos fundamentos de vários ramos da matemática, a saber, a teoria das funções, a lógica e a noção de cardinal. Depois de demonstrar o teorema do valor intermédio, deu o primeiro exemplo de uma função contínua não derivável sobre o conjunto dos números reais. 

No campo da lógica, estudou a tabela de verdade de uma proporção e introduziu a primeira definição operativa de deducibilidade. Estudou, antes de Georg Cantor, os conjuntos infinitos. Em 1817, Bolzano define continuidade: “A função f(x) é contínuo em um intervalo se, em qualquer x do intervalo, a diferença f(x+w)-f(x) pode se tornar tão pequena quanto se deseje”.

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) foi um matemático francês. O primeiro avanço na matemática moderna por ele produzido foi à introdução do rigor na análise matemática. O segundo foi no lado oposto – combinatorial. Partindo do ponto central do método de Lagrange, na teoria das equações, Cauchy tornou-se abstrata e começou a sistemática criação da teoria dos grupos. Não se interessando pela eventual aplicação do que criava, ele desenvolveu para si mesmo um sistema abstrato, antes dele poucos, buscaram descobertas proveitosas na simples manipulação da álgebra.

Foi um dos fundadores da teoria dos grupos finitos. Em análise infinitesimal, criou a noção moderna de continuidade para as funções de variáveis real ou complexa. Mostrou a importância da convergência das séries inteiras, com as quais seu nome está ligado. Fez definições precisa das noções de limite e integral definida, transformando-as em notável instrumento para o estudo das funções complexas. Sua abordagem da teoria das equações diferenciais foi inteiramente nova, demonstrando a existência de unicidade das soluções, quando definidas as condições de contorno. Exerceu grande influência sobre a física de então, a ser o primeiro a formular as bases matemáticas das propriedades do éter, o fluído hipotético que serviria como meio da propagação da luz.

Com o conceito de função já relativamente consolidado, a Teoria das Funções tornou-se assunto de grande interesse na Matemática. O constante desenvolvimento da Matemática traz sempre questionamentos sobre conceitos pré estabelecidos, e as funções são consideradas e os conceitos permanentemente revistos. Não obstante, podemos dizer que o espírito da definição de Euler acerca da dependência entre quantidades parece ser inabalável.