Investigando, argumentando e demonstrando

    

    Em Matemática, é comum formularmos afirmações que servem de alicerce para a construção do conhecimento. Essas declarações, por mais sólidas que pareçam, podem se tornar problemáticas quando um estudante diz: “Não entendi a lógica por trás disso.” Por isso, sempre que possível, é essencial que essas proposições sejam comprovadas — não apenas para validar seu conteúdo, mas para tornar o raciocínio acessível e transparente.

    Vamos analisar uma proposição:

 “Se a e b são números inteiros pares quaisquer, então a soma a + b é um número par” 

Para concluir que ela é sempre verdadeira é suficiente constatar que a proposição é válida para alguns casos particulares?

6 + 4 = 10;     118 + 124 = 242;

0 + 100 = 100;     –8 + 28 = 20;

–30 + 28 = –2;     –10 + 10 = 0  etc.

poderíamos sugerir uma infinidade de outros exemplos e mesmo assim não garantiríamos para sempre a veracidade da afirmação! 

    Do ponto de vista da Matemática, prevalece o método dedutivo, em que uma propriedade matemática só é validada por meio de uma demonstração. Na Matemática, uma propriedade (ou um teorema) é uma proposição do tipo “Se p então q”, em que p é a hipótese e q é a tese.

    A demonstração é uma sequência (finita) de passos lógicos que permitem, a partir de p, concluir que q é verdadeira. Na proposição inicial, a hipótese é “a e b são números inteiros pares quaisquer” e a tese é “a + b é um número par”.

    Acompanhe a demonstração dessa propriedade. 

    Como a é um número inteiro par, podemos escrevê-lo na forma a = 2.m, em que m ∈ ℤ. Analogamente b = 2.n, em que n ∈ ℤ.

Daí:  a + b = 2.m + 2.n = 2.(m + n) ,  em que (m + n) ∈ ℤ.

Como m e n são inteiros, a soma m + n é um número inteiro e a + b resulta em um número múltiplo de 2, fica demonstrado que a + b é um número par. 

    Nem toda proposição matemática é verdadeira. Veja a seguinte:

“Se a é um número inteiro múltiplo de 3, então a é múltiplo de 6.”

Podemos verificar que a proposição é falsa, pois existem múltiplos de 3 que não são múltiplos de 6, como, por exemplo, 3, 9, 15, 21 etc. Cada um desses valores corresponde a um contraexemplo. Um contraexemplo em Matemática é um exemplo específico que mostra que uma afirmação geral é falsa. Ele serve para refutar uma conjectura ou proposição, demonstrando que nem sempre ela é verdadeira. Pronto! Basta um contraexemplo para refutar a afirmação.

    Agora é com você! Apresentamos algumas proposições envolvendo elementos do conjunto dos números inteiros. Decida se elas são verdadeiras ou falsas, exibindo uma demonstração para as verdadeiras e um contraexemplo para as falsas.

I) Se a e b são números inteiros ímpares, então (a + b) é um número par.

II) Se a é um número inteiro par, então a² é um número par.

III) Se a é um número inteiro múltiplo de 6, então a é múltiplo de 3.

IV) Se a é um número inteiro divisível por 5, então a é divisível por 10.

V) Se a, b e c são números inteiros e consecutivos, então (a + b + c) é um número inteiro múltiplo de 3.

VI) Se a e b são números inteiros e consecutivos, então (a² + b²) é um número ímpar.

VII) Se n é um número natural qualquer, então (n² + n + 41) é um número primo.

    Para aprofundar o assunto, no portal da Matemática da OBMEP tem um super módulo sobre: Introdução à lógica Matemática e que recomendamos muito o estudo. Abraços! 

Adaptado de: Gelson Iezzi... [et. al.] - Matemática: ciência e aplicações, 1º ano:

Ensino Médio - p.22 - São Paulo: Editora Saraiva, 2016