E assim nasceu a Geometria...

Na literatura sobre a Matemática, poucas são as obras que se destacam como indispensáveis em importância, valor cultural e histórico na formação contemporânea daqueles que estudam, aprendem e ensinam a ciência de Al Kharismi, Euclides, Pitágoras, Descartes, Pascal, Newton, Leibnitz, Euler, Lagrange, entre outros. Quem já leu sabe que a obra de Bento de Jesus Caraça, “Conceitos Fundamentais da Matemática”, ocupa um lugar de grande destaque não só pelo esforço para ensinar o pensamento matemático, más também por despertar naqueles que a lêem, a curiosidade pela Matemática e vencer o medo que em alguns tanto desperta. No entanto não venho aqui falar especificamente do livro e sim de um trecho historicamente curioso, entre os tantos, um que nos descreve a origem da Geometria:

“ Heródoto (o pai da História) historiador grego que viveu no século V antes de Cristo, ao fazer a história dos egípcios no livro II (Euterpe) das suas histórias, refere-se deste modo às origens da Geometria:

Disseram-me que este rei (Sesóstris) tinha repartido todo o Egito entre os egípcios, e que tinha dado a cada um uma porção igual e retangular de terra, com obrigação de pagar por ano um certo tributo. Que se a porção de algum fosse diminuída pelo rio (Nilo), ele fosse procurar o rei e lhe expusesse o que tinha acontecido à sua terra. Que ao mesmo tempo o rei enviava medidores ao local e fazia medir a terra, a fim de saber de quanto ela estava diminuída e de só fazer pagar o tributo conforme o que tivesse ficado de terra. Eu creio que foi daí que nasceu a Geometria e que depois ela passou aos gregos.

Como se vê, as relações do individuo para com o Estado com base na propriedade, impuseram cedo (Sesóstris viveu provavelmente há perto de 4000 anos) a necessidade da expressão numérica da medição...”

É interessante e curioso saber que esse importante ramo da Matemática, a Geometria (para mim o mais belo), está em sua origem relacionada à cobrança de impostos.

O tal do M.M.C. ... e algumas idéias relacionadas

Outro dia desses fiz a decomposição do número 72 no quadro para uma turma do 1º ano do ensino médio e pasmem (eu tô até hoje!!!), vários alunos disseram que estava fazendo o m.m.c. ( putz grilo de novo!!!! ). Bom ... ou melhor mau, por esse motivo resolvi postar aqui uma retomada deste conceito.
Inicialmente vamos relembrar o conceito de múltiplo. Se multiplicarmos o número 6 por cada um dos números da seqüência dos naturais:
6 x 0 = 0 ; 6 x 1 = 6 ; 6 x 2 = 12 ; 6 x 3 = 18 ; 6 x 4 = 24 ; 6 x 5 = 30 e assim por diante os resultados obtidos são os múltiplos do número 6 e podem ser representados da seguinte forma:

M(6) = {0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , ...}.

Observe que o conjunto de múltiplos de um número é infinito; que todo número é múltiplo de si mesmo e que o menor múltiplo de um número é sempre o zero.

Assim: “Múltiplo de um número é o produto desse número por um número natural qualquer”

Observe, por exemplo, que quando afirmamos: 48 é divisível por 3 é o mesmo que dizer que 48 é múltiplo de 3. Perceba que 48 também é múltiplo de 0, 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. Ok?

Mínimo Múltiplo Comum ou simplesmente M.M.C.

Dois, três ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 6 e 8:

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, ...}.
M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, ...}.

Percebemos que os múltiplos comuns de 6 e 8 são: 0, 24, 48, 72, 96, ...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 24 é o menor deles. Chamamos o 24 de mínimo múltiplo comum de 6 e 8, ou seja, m.m.c.(6; 8) = 24

Assim: “Dados dois ou mais números, mínimo múltiplo comum é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo simultaneamente dos números dados”.

Cálculo do M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 40:

1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3 = 2² . 3
40 = 2 x 2 x 2 x 5 = 2³ x 5
m.m.c(12; 40 ) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

Assim: “O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente”

Processo prático ou decomposição simultânea para encontrar o M.M.C.

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num esquema como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15, 24, 60). Portanto,

m.m.c.(15, 24, 60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

Propriedades do M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c. de 3, 6 e 30. Ou seja: m.m.c. (3, 6, 30) = 2 x 3 x 5 = 30

“Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.”

Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c. de 4 e 15 é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Ou seja: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

“Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.”

Agora que revimos o conceito de M.M.C. na aritmética que tal você pesquisar um pouco mais e descobrir e aprofundar como se encontra o M.M.C. de expressões algébricas como 12a²b e 15ab³ ou expressões do tipo 2x² + 4xy + 2y² e 6x + 6y ?

Responde essa:

Um médico prescreve três medicamentos: A(de 3 em 3 horas) , B(de 4 em 4 horas) e C(de 6 em 6 horas) para um de seus pacientes. Se o paciente ingeriu os medicamentos todos juntos às 7 h da manhã, que horas voltará a ingerir todos juntos novamente?

Dicas para aprender não só Matemática

É certo que cada estudante possui características próprias de personalidade, sociabilidade e formação cognitiva e que cada um pode descobrir caminhos que possibilitem melhorar as aprendizagens. Mas insisto em sugerir algumas dicas ou atitudes dentre as que observo nos bons estudantes que conheço e que podem ser praticadas por todos para potencializar os estudos. São elas:

1ª Estude de forma ativa. Participe! Questione! Fique ligado! Ser estudante não é o mesmo que ser aluno. Uma pergunta certa no momento certo é de um valor inestimável.
2ª Seja freqüente e pontual. São atitudes que indicam o seu interesse e envolvimento com o aprendizado. Quem não assiste e participa de todas as aulas corre o risco de interromper a comunicação com o professor. Nas ausências, o aluno deve imediatamente atualizar-se em relação à aula.
3ª Concentre-se. Você já viu alguém ouvir uma música e cantar ou decorar outra ao mesmo tempo? A hora de estudar deve ser respeitada é um momento único. Às vezes em aula, brinco com aqueles que estão distraídos: Todo mundo sintonizado em FM e você em AM!
4ª Estudar requer disciplina e rotina, seja em horário escolar ou não. Jogue limpo com você mesmo. Hora de estudar é hora de estudar mesmo que seja só uma horinha todo dia. Estabeleça rigorosamente um período do dia para os estudos.
5ª Estude com empenho, com o coração, com capricho. Essa é uma atitude que devemos adotar pra tudo que nos propomos a fazer em nossas vidas. O lema é: É pra fazer? Então que seja bem feito!
6ª Organize-se. Localize-se. Anote o que está sendo estudado. Tenha em mente ou registrado numa agenda, por exemplo, quais os conteúdos que estão sendo estudados e quais serão os próximos. Você consegue se imaginar tomando um ônibus sem saber para onde ele vai? Pior!!! O motorista pergunta: aonde você vai descer e você responde: Não sei!? (Cruz credo!!)
7ª Ao estudar procure saber quais são os pré-requisitos do assunto que está sendo estudado. Certos assuntos requerem o conhecimento prévio de outros, caso contrário corre-se o risco de ficar completamente perdido e não entender o que está sendo estudado. Voltando a fábula do Ônibus: O motorista pergunta: Você sabe para onde vai? Você responde: Eu não sei nem da onde eu vim! (Putz grilo! Besouro! Barata! Etc.etc.etc.)
8ª Identifique conceitos e idéias novas. Às vezes um assunto não fica claro de imediato e ao contrário do que é feito com os pré-requisitos, só quando avançamos no assunto e relacionamos aos conceitos já estabelecidos é que passamos a compreender melhor. É quando os conceitos novos passam a ter sentido para nós. É mais ou menos assim: O motorista do ônibus pergunta: Você sabe pra onde vai? Você responde: Mais ou menos... quando estiver perto eu dou o sinal ok? (o destino vai ficando claro... entende?)
9ª Represente o pensamento. Faça esquemas, desenhos, diagramas, tabelas, gráficos ou qualquer outra ilustração que possa ajudar no entendimento ou na visualização do que está sendo estudado. Isso ajuda muito na resolução de problemas matemáticos mesmo que de inicio não faça sentido.
10ª Estude com compromisso e colaboração. Nunca deixe de fazer as atividades propostas. Elas são escolhidas intencionalmente. Encare-as como desafios a serem vencidos. São termômetros do aprendizado e muitas vezes trazem elementos que esclarecem o assunto. Se num primeiro momento você encontrar dificuldades, retome o assunto, faça exercícios mais simples, pesquise e volte a encarar o desafio.
11ª Desenvolva sua autonomia. Pesquise o assunto estudado em outros livros. Realize exercícios extras, conforme sua necessidade, sem exageros. A idéia é compreender, aprofundar e fixar conceitos importantes.
12ª Tenha entusiasmo. Vigor estudantil. Estabeleça metas. A vitória não é alcançada sem esforço e determinação. Os desafios servem para consagrar nossos esforços, ao fim sua persistência será recompensada por grandes conquistas e realizações.

Fração geratriz e uma pergunta: 0,999... é igual a 1?

Estudantes da educação básica (EB) ficam perplexos quando nas aulas de Matemática afirmamos que 0,999... é igual a 1 (e portanto 1,999... = 2 ; -8,999... = -9 ; -0,31999... = -0,32). A maioria dos estudantes, mesmo os concluintes do ensino médio, quando questionados, afirmam que 0,999... é uma aproximação de 1 e não exatamente o número 1. Entre os matemáticos 0,999... representa o número da soma 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + 0,00009 + ... e que converge para o valor 1. Para os alunos da EB dizemos que 0,9 é uma aproximação de 1, outra aproximação maior é 0,99 e ainda mais próxima é 0,999 e conforme aumenta a quantidade de noves após a vírgula nos aproximamos mais ainda de 1. Más 0,999... (com uma infinidade de algarismos 9 após a vírgula) é exatamente 1 e não uma aproximação. Essa é uma idéia bastante intuitiva, mas válida num primeiro momento para chegarmos a um consenso sobre a igualdade 0,999... = 1. O conceito de fração geratriz pode nos auxiliar nessa tarefa sem aprofundarmos o tema, pois aqui não seria oportuno. Fração geratriz é a fração que gera (dá origem) um determinado número racional na forma decimal. Facilmente comprovamos que: 2/3 ou 6/9 é a fração geratriz de 0,666... e também 1/3 ou 3/9 é a fração geratriz de 0,333... . Bom, então sendo 0,666... + 0,333... = 0,999... e 6/9 + 3/9 = 9/9 = 1 seria lógico dizer, portanto que 0,999... = 1. Para os estudantes, fazer conversões da forma fracionária para a decimal ou da decimal para a fracionária é simples e necessário. Aceitar a igualdade como verdade absoluta é outra questão. Existem pelo menos dois procedimentos vistos na EB que comprovam a igualdade 0,999... = 1, más a idéia não é aceita naturalmente e, portanto a grande maioria dos estudantes nessa fase não se convence da igualdade. Uma das maneiras de apresentar a igualdade e comum nos livros da EB é:

Os símbolos 0,999... e 1 representam a mesma ideia. E agora como você entende a questão? Dá pra afirmar que a igualdade é verdadeira? Então responda: Quanto vale 0,888... + 0,222...?

Contar: A idéia de correspondência

É possível conceber e comparar números sem contar e sem conhecer os números envolvidos?
Ainda que pareça estranha a pergunta, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Imagine a seguinte cena: Entramos numa sala de aula, temos diante de nós dois conjuntos: o das carteiras escolares e o dos estudantes. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada cadeira está ocupada e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais estudantes que cadeiras.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que está muito presente em vários conceitos da Matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. A mesma consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto do outro conjunto, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduzia precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. A origem da palavra "cálculo", ou seja, em latim calculus, significa pedra.
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1, 2, 3, 4, 5, ...
A gente aponta para um elemento qualquer e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os elementos da coleção; se o último número pronunciado for nove, dizemos que a coleção tem nove elementos e é um conjunto finito. Portanto se alguém te perguntar o que é contar? Diga-lhe: Contar é estabelecer uma correspondência Biunívoca ok?