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sábado, 29 de outubro de 2011

Três pontos e uma circunferência

Você já deve ter visto um compasso? Sabe pra que serve? É um instrumento usado para desenhar circunferências ou arcos de circunferência ok? As respostas parecem óbvias, más neste momento desejo provocar, meu negócio é esse. Desde a publicação da LDB 5692 de 1971 (Lei da Educação), o desenho geométrico deixou de ser uma disciplina obrigatória e com essa lei, as escolas passaram a ter liberdade para construir sua grade curricular, dentro da parte diversificada. Este fato, entre outros, contribuíram para que o desenho geométrico fosse excluído de muitas instituições escolares até hoje. E nos dias atuais, onde na escola, se fala em utilizar recursos tecnológicos (Cabri, Geogebra, Winplot, entre outros) para o ensino da Matemática o compasso deve mesmo ser algo desconhecido(lamentável!). O "velho, simples e prático" compasso serve também como instrumento para resolver muitos problemas geométricos, como por exemplo, construir um hexágono, achar o centro de uma circunferência, retificar a circunferência, traçar uma reta paralela à outra, etc. Existem problemas de natureza geométrica, intrigantes e belos, que podem ser resolvidos com o compasso, e que devem fazer parte do ensino de Matemática na escola básica. Pra não ficar a idéia de que compassos só servem para desenhar circunferências, vou expor aqui uma situação, bem simples, em que o mesmo se destaca. Os compassos comuns possuem uma ponta seca, em forma de agulha, que determina um ponto fixo no papel, e outra ponta com uma grafite para traçar a circunferência, tendo como centro a ponta seca. Vamos a seguinte tarefa:

Marque três pontos A, B e C quaisquer sobre uma folha e com, uma régua e um compasso faça uma circunferência passar sobre os mesmos.

Como você faria? Ficaria tentando acertar o centro da circunferência? Não se aperreie! Vamos observar algumas idéias envolvendo pontos importantes, retas e circunferências associadas a um triângulo.
O nome dado ao ponto que fica no centro de uma circunferência circunscrita a um triângulo é circuncentro. Ele recebe esse nome dado a uma propriedade que todo triângulo, no nosso caso ΔABC, possui. A reta perpendicular (que forma ângulo de 90°) a um dos lados do triângulo, traçada pelo ponto médio do respectivo lado é denominada mediatriz. As três mediatrizes de um triângulo qualquer se encontram sempre num único ponto, e por isso o ponto recebe esse nome especial, o bendito, circuncentro(veja a figura abaixo). Bom... agora você já deve ter percebido que o nosso problema se resume a achar o bendito ponto. Para resolver nossa questão, basta traçar ao menos duas das mediatrizes do segmento cujos vértices são os pontos que você marcou, AB, BC ou AC, e teremos o centro da circunferência. Com a ponta seca do compasso nesse ponto e abertura do compasso igual à distância entre o circuncentro e um dos vértices A, B ou C, traçar a circunferência. Pronto aí está a circunferência passando pelos três pontos que você fez.


Ainda sim podemos inferir que se o circuncentro estiver localizado sobre um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto e consequentemente estamos diante de um triângulo retângulo. Se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo e se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.Vou deixar aqui um site com várias construções geometricas básicas. Vale o clique, ok?

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