Algebri(n)cando com Perelman

Yakov Perelman Isidorovich notável cientista soviético, nasceu em 4 de dezembro de 1882 na cidade de Bielostok, Grodniy província, no atual território da Bielorrússia. Seu pai trabalhava como balconista em uma fábrica têxtil e sua mãe era uma professora. Em seu livro (é uma ótima leitura) - Álgebra Recreativa – ele nos leva a problemas curiosos relacionados a história da Matemática, inesperadas aplicações de álgebra e intrigantes e desafiadores quebra cabeças. Hoje vou destacar por aqui o fragmento curioso, entre tantos outros, desta obra e que envolve: comparações entre números, combinações, algarismos e a potenciação.
Com três “2”
Certamente que todos sabem como se devem escrever três algarismos iguais para que se obtenha com eles um valor máximo: devemos considerar três noves e dispô-los assim:
isto é, escrevendo a potência de uma potência. Este número é tão grande, que é impossível encontrar algo com que se possa comparar. O número de elétrons que formam todo o universo visível é insignificante relativamente a este número. Procure a forma de conseguir o maior número possível com três dois sem utilizar qualquer sinal.
Solução: O exemplo anterior o induzirá sem dúvida a dispor os dois do mesmo modo, isto é, assim:
Contudo, neste caso não se consegue o efeito desejado. O resultado é até menor que 222. Realmente, apenas escrevemos 2 elevado a 4, isto é, 16. O maior dos números que se pode formar com três dois não é nem 222 nem 22² (ou seja, 484), mas sim 2²²=4.194.304. O exemplo é muito instrutivo, pois ensina que em Matemática é perigoso usar analogias: estas podem conduzir a conclusões erradas.
Com três “3”
Depois disto, talvez o leitor proceda com maior cuidado ao resolver o seguinte problema: Escrever três “3” de forma a obter um valor máximo sem usar qualquer sinal.
A potência de potências não surte aqui o efeito desejado, porque:
isto é, 3 elevado a 27ª potência, é menor que 3³³. A última disposição (3³³) dos “3” é a que responde à pergunta formulada.
Com três ‘’4’’
Escrever três "4"de forma a obter um valor máximo sem recorrer a qualquer sinal.
Se seguirmos o exemplo dos dois exercícios anteriores, isto é, se escrevemos:
não obtemos uma solução favorável, visto que, neste caso, a potência de potência:
proporciona o valor máximo possível, dado que a 4ª potência de 4 é 256 e 4 elevado a 256 é maior que 4 elevado a 44.
Com três algarismos iguais
Tentemos aprofundar este intrigante fenômeno e esclarecer por que motivo quando formamos, com três algarismos iguais, uma potência, umas vezes obtemos números extraordinariamente grandes e outras não. Examinemos o caso geral. Obter o maior número possível com três algarismos iguais, prescindindo de qualquer sinal. Representemos o algarismo pela letra a.
A disposição:corresponde à expressão isto é, A potência de potência, no seu aspecto geral, apresenta-se assim: Determinemos para que valor de a esta última disposição é de maior valor que a primeira. Como ambas as potências têm a mesma base, ao maior expoente corresponderá o maior valor.
Em que casos:

Dividindo ambos os membros da desigualdade por a, obtemos: É fácil agora concluir que essa expressão será verdadeira quando a for maior que 3, visto que 4 elevado a (4-1) é maior que 11, enquanto que 3² e 2¹ são menores que 11.
Ficam, pois, explicadas as surpresas com que tropeçamos ao resolver os problemas precedentes: para os “2” e os “3”, devíamos utilizar potências com expoentes de dois algarismos, e para os “4” ou algarismos maiores, teríamos de usar a potência de potência.
Vou ficar por aqui e propor a leitura do problema que vem logo em seguida no citado livro: Como devemos dispor quatro "2" de forma que obtenhamos o maior valor possível?