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terça-feira, 28 de fevereiro de 2012

Cinco poliedros regulares (... e apenas cinco)

Um poliedro convexo é regular (veja as laterais do blog) quando suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si e em cada vértice concorre (se encontram) o mesmo número de arestas. Existem apenas cinco tipos de poliedros regulares. Observe cada um deles e suas respectivas planificações:  
A questão é: Só existem cinco ?! E como provamos que não existem mais poliedros regulares? Bom... vamos lá. Supondo que um poliedro regular possua x arestas em cada face, e que em cada vértice do poliedro, se encontrem y arestas, temos x>2 e y>2. A relação de Euler aplicada num poliedro regular de V vértices, A arestas e F faces nos garante que:  V - A + F = 2.
Temos ainda que:
A divisão por 2, deve-se ao fato de que cada aresta é comum a duas faces e também comum a dois vértices. Assim sendo, substituímos na relação de Euler :

Como A > 0  e  xy > 0,  logo:  2x - xy + 2y > 0
Já sabemos que x > 2 e y > 2, fazemos x = 2 + m e y = 2 + n , com m e n números inteiros e positivos, e substituindo em 2x - xy + 2y > 0 , encontramos:

Observe que os únicos valores inteiros e positivos de m e n que tornam m.n<4 uma sentença verdadeira são:

1° caso: m=1 e n=1 ( o poliedro neste caso é o Tetraedro regular )
2° caso: m=1 e n=2 ( o poliedro neste caso é o Octaedro regular )
3° caso: m=1 e n=3 ( o poliedro neste caso é o Icosaedro regular )
4° caso: m=2 e n=1 ( o poliedro neste caso é o Hexaedro regular )
5° caso: m=3 e n=1 ( o poliedro neste caso é o Dodecaedro regular )

Visto todos os casos possíveis para m e n, concluímos que só existem cinco tipos de poliedros regulares. Provocando... confirmem se o 1º caso é mesmo correspondente ao Tetraedro regular, o 2º caso é mesmo correspondente ao Octaedro regular, e assim por diante. E aos interessados no assunto, sugiro um clique, aqui, no link da UFF sobre "Os sólidos platônicos". Até o próximo.

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