sábado, 30 de dezembro de 2017
πerímetro
quinta-feira, 30 de novembro de 2017
Incomensurabilidade e os irracionais
Já sabemos que números racionais são decimais exatos ou dízimas periódicas que podem ser escritos na forma fracionária. Veja:
2 = ; – 4
=
; 1,2 =
; 0,625
=
;
0,666... = ; –
1,888... = –
; –
1,999... = –
.
Mas nem todo número pode ser escrito na forma fracionária.
Vamos compreender melhor essa ideia. Considere o segmento de reta e fixemos um segmento de reta
unitário u como unidade de medida
de comprimento. Por exemplo, a medida de comprimento de u é igual a 1
cm.
Como u cabe exatamente 4 vezes no e a medida de comprimento de u
é igual a 1 cm, dizemos que a medida de comprimento do
é de 4 cm.
Consideremos
agora um segmento de reta e o mesmo segmento de reta
unitário u com medida de comprimento
de 1 cm.
Neste caso, u não
cabe um número inteiro de vezes no . Então, devemos procurar um segmento de reta v
que caiba um número inteiro de vezes
em u e, assim, um número inteiro
de vezes no
. Neste exemplo, se tomarmos a medida de
comprimento de v igual a
cm, então v
caberá 2 vezes em u e 9 vezes no
.
Assim, a medida
de comprimento do será igual
a:
9 . cm =
cm = 4,5
cm.
Note
que a medida de comprimento do , em centímetros, é o número racional 4,5.
Quando
isso ocorre, ou seja, quando é possível encontrar um segmento de reta v nas condições acima, dizemos que o
segmento de reta e o segmento de reta u são
comensuráveis.
Pensou-se, por muitos séculos, que 2 segmentos de reta quaisquer sempre eram comensuráveis, ou seja, que o comprimento de um pode ser medido pelo outro e essa medida de comprimento é um número racional. Essa crença permaneceu até o quarto século antes de Cristo.
Naquela
época, em Crotona, no sul da Itália, Pitágoras liderava uma escola que se
dedicava ao estudo de Filosofia, Matemática e Música. Os discípulos de
Pitágoras também acreditavam que só existiam segmentos de reta comensuráveis.
Porém, foram eles próprios que descobriram, por exemplo, que o lado e a
diagonal de um quadrado são segmentos de reta incomensuráveis.
Isso significa que a medida de comprimento da
diagonal do quadrado (d) não pode ser expressa por um número
racional, tomando a medida de comprimento do lado do quadrado () como
unidade de medida.
Podemos concluir que: quando o segmento de reta é comensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número racional; e quando é incomensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número irracional. Assim, com os números racionais e os números irracionais, todos os segmentos de reta podem ter os comprimentos medidos.
segunda-feira, 30 de outubro de 2017
Circunferência e círculo: Do ponto à esfera
sábado, 30 de setembro de 2017
Pense num Pitágoras animado !
Alguns chamam de "Tio Pit" e uma grande maioria simplesmente de Pitágoras. Se fizermos uma busca na internet pelo termo, inevitavelmente cairemos no famoso Teorema (com o "t" maiúsculo mesmo):
"Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos."
Ilustrando a ideia temos:
Incrivelmente essa afirmação (uma equação) que recebe o nome de um homem que alguns historiadores dizem inclusive que pode nem ter existido, que é uma verdade eterna, mais eterna que um diamante segundo o matemático português Eduardo S. de Cabezon, é universalmente conhecida e inconfundível. Não há sistema educacional no mundo que não fale sobre o assunto. Observe que alguns autores preferem representar a hipotenusa (lado maior do triângulo retângulo) por "a", como é o meu caso, e outros por "c" levando nesse 2º caso a reescrita da equação:
c² = a² + b²,
e isso pouco importa desde que fique claro quem é a hipotenusa!
Naturalmente não venho aqui para dizer que sou fã do tal Pitágoras, nem mostrar tais aplicações no mundo real e nem tão pouco falar dos Gifs (Formato de Intercâmbio Gráficos) que ornamentam este blogue, isso é evidente. A popularização da internet e a revolução cultural que as tecnologias digitais propiciam e que ainda surpreendem, garantem que nunca foi tão fácil apreender Matemática e Gifs, entre outros objetos digitais, são coisas que surgem todos os dias na rede mundial elaborados por mentes criativas para ilustrar ideias. Isso sim me encanta, contribui e vira recurso para o ensino e aprendizado. Da minha coleção, que guardo como semijoias do pensamento e que tenho salvo em meu repositório pessoal, tenho alguns preferidos e compartilho logo a seguir o 1º da minha lista, cuja hipotenusa está representada por "c". Veja:

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