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sábado, 30 de dezembro de 2017

πerímetro


     Você sabia que o uso da letra grega pi (π) vem da palavra perímetro? Em grego antigo, perímetro é escrito da seguinte forma:

περίμετρος

    Em 1737, o matemático suíço Leonhard Paul Euler popularizou a inicial dessa palavra grega para indicar o quociente constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência, ou seja,
     
▲ clique

    Foi também nessa época que os matemáticos conseguiram demonstrar que "pi" é um número irracional, ou seja, que possui infinitas casas decimas após a vírgula e não possui período. Observe logo abaixo "pi" com 500 casas decimais, agrupadas de 25 em 25 ( ... ou clique e veja o primeiro milhão de casas decimais ! ):


quinta-feira, 30 de novembro de 2017

Incomensurabilidade e os irracionais

     

    Já sabemos que números racionais são decimais exatos ou dízimas periódicas que podem ser escritos na forma fracionária. Veja:

2 =   ;      4 =   ;     1,2 =   ;      0,625 =   ; 


0,666... =  ;  1,888... =  ;   1,999... = .


Mas nem todo número pode ser escrito na forma fracionária.

    A existência de segmentos incomensuráveis implica na insuficiência dos números racionais e, portanto, na ampliação do conceito de número. Essa ampliação permite efetuar medidas dos objetos geométricos mais simples, como o quadrado e o círculo.


    Vamos compreender melhor essa ideia. Considere o segmento de reta  e fixemos um segmento de reta unitário como unidade de medida de comprimento. Por exemplo, a medida de comprimento de u é igual a 1 cm.



Como u  cabe exatamente 4 vezes no  e a medida de comprimento de u é igual a 1 cm, dizemos que a medida de comprimento do  é de 4 cm.

Consideremos agora um segmento de reta  e o mesmo segmento de reta unitário u  com medida de comprimento de 1 cm.

Neste caso, u não cabe um número inteiro de vezes no . Então, devemos procurar um segmento de reta v que caiba um número inteiro de vezes em u  e, assim, um número inteiro de vezes no . Neste exemplo, se tomarmos a medida de comprimento de v  igual a  cm, então v caberá 2 vezes em u e 9 vezes no .

Assim, a medida de comprimento do  será igual a:

 9 .  cm =  cm = 4,5 cm.


Note que a medida de comprimento do , em centímetros, é o número racional 4,5.


Quando isso ocorre, ou seja, quando é possível encontrar um segmento de reta v  nas condições acima, dizemos que o segmento de reta  e o segmento de reta u são comensuráveis.

Pensou-se, por muitos séculos, que 2 segmentos de reta quaisquer sempre eram comensuráveis, ou seja, que o comprimento de um pode ser medido pelo outro e essa medida de comprimento é um número racional. Essa crença permaneceu até o quarto século antes de Cristo.


Naquela época, em Crotona, no sul da Itália, Pitágoras liderava uma escola que se dedicava ao estudo de Filosofia, Matemática e Música. Os discípulos de Pitágoras também acreditavam que só existiam segmentos de reta comensuráveis. Porém, foram eles próprios que descobriram, por exemplo, que o lado e a diagonal de um quadrado são segmentos de reta incomensuráveis.

Isso significa que a medida de comprimento da diagonal do quadrado (d) não pode ser expressa por um número racional, tomando a medida de comprimento do lado do quadrado () como unidade de medida.



Podemos concluir que: quando o segmento de reta é comensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número racional; e quando é incomensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número irracional. Assim, com os números racionais e os números irracionais, todos os segmentos de reta podem ter os comprimentos medidos.


Adaptado de: Dante, Luiz Roberto - Teláris Matemática, 9º ano :
 Ensino Fundamental - 3. ed. - p.17 - São Paulo: Editora Ática, 2018.

segunda-feira, 30 de outubro de 2017

Circunferência e círculo: Do ponto à esfera

   
    O que são os objetos em Matemática? Círculo e circunferência são o mesmo objeto? A palavra circum em latim quer dizer ao redor. Mas ao redor do quê? Vamos descobrir? Marque um ponto P numa folha de papel.


    Usando régua, marque outro ponto sobre a folha mas que esteja, por exemplo, a 4 centímetros de distância de P.


    Vá girando a régua e marcando, ao redor de P, outros pontos distantes 4 cm de P.


    Você concorda que podemos marcar sobre a folha infinitos pontos com essa mesma distância de P? Eles vão ficar cada vez mais próximos um do outro, até formar uma linha fechada ao redor de P. Essa linha curva e fechada recebe o nome de circunferência.


    Portanto, para traçar uma circunferência, precisamos fixar um ponto(o centro) e uma distância(o raio). P é o centro da circunferência. A distância de P até qualquer ponto da circunferência é o raio, que geralmente representamos por r.

Assim, definimos:

    A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano (em nosso desenho, o plano é a folha do caderno), que estão a uma mesma distância de um ponto fixo(P).

    Círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo P é menor ou igual a uma distância r(raio) dada.

    E se sairmos do plano? Imagine o ponto P no espaço. Você pode marcar mentalmente os pontos do espaço que estão a 4 cm de P. Visualize o que formaria: uma casca esférica! Uma bola oca! Algo como uma bolha de sabão flutuando no ar.


Agora é com você! O que é uma esfera?

 Adaptado de: PEC - Projeto Escola e Cidadania: Matemática /
 Maria José C. V. Zampirolo, Et al. - São Paulo: Editora do Brasil, 2000.

sábado, 30 de setembro de 2017

Pense num Pitágoras animado !


   Alguns chamam de "Tio Pit" e uma grande maioria simplesmente de PitágorasSe fizermos uma busca na internet pelo termo, inevitavelmente cairemos no famoso Teorema (com o "t" maiúsculo mesmo):

   "Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos."

      Ilustrando a ideia temos:

   Incrivelmente essa afirmação (uma equação) que recebe o nome de um homem que alguns historiadores dizem inclusive que pode nem ter existido, que é uma verdade eterna, mais eterna que um diamante segundo o matemático português Eduardo S. de Cabezon, é universalmente conhecida e inconfundível. Não há sistema educacional no mundo que não fale sobre o assunto. Observe que alguns autores preferem representar a hipotenusa (lado maior do triângulo retângulo) por "a", como é o meu caso, e outros por "c" levando nesse 2º caso a reescrita da equação: 

c² = a² + b²,

e isso pouco importa desde que fique claro quem é a hipotenusa!

   Naturalmente não venho aqui para dizer que sou fã do tal Pitágoras, nem mostrar tais aplicações no mundo real e nem tão pouco falar dos Gifs (Formato de Intercâmbio Gráficos) que ornamentam este blogue, isso é evidente. A popularização da internet e a revolução cultural que as tecnologias digitais propiciam e que ainda surpreendem, garantem que nunca foi tão fácil apreender Matemática e Gifs, entre outros objetos digitais, são coisas que surgem todos os dias na rede mundial elaborados por mentes criativas para ilustrar ideias. Isso sim me encanta, contribui e vira recurso para o ensino e aprendizado. Da minha coleção, que guardo como semijoias do pensamento e que tenho salvo em meu repositório pessoal, tenho alguns preferidos e compartilho logo a seguir o 1º da minha lista, cuja hipotenusa está representada por "c". Veja:

   E agora: 
      
   Uma vez que os quatro triângulos retângulos coloridos são congruentes (de mesma medida), isso nos leva a conclusão que: "A área do quadrado maior é igual a soma das áreas dos dois quadrados menores".   
     Abaixo temos mais 20 animações incríveis e belíssimas, na ordem de minha preferência. Escolha a sua preferida! E se conhece mais alguma que não está por aqui, me envie. Desde já agradeço.



     Ficou curioso sobre o assunto e deseja se aprofundar ? Então acesse esse material da OBMEP, do PIC (Programa de Iniciação Científica Jr. da OBMEP) e bons estudos! 

??????????* Vamos jogar o Tangram? Acesse-o aqui.

*O Portal da Matemática OBMEP oferece gratuitamente, a todos os estudantes do país, materiais didáticos de qualidade relacionados à grade curricular do 6º ano do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio. Já utilizamos e incentivamos nossos estudantes a utilizarem, cada vez mais esses materiais. Complemente e aprofunde seus estudos com videoaulas, exercícios resolvidos, caderno de exercícios, material teórico e aplicativos iterativos. Aproveite!!

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