Pense num Pitágoras animado !

   Alguns chamam de "Tio Pit" e uma grande maioria simplesmente de Pitágoras. Se fizermos uma busca na internet pelo termo, inevitavelmente cairemos no famoso Teorema (com o "t" maiúsculo mesmo):

   "Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos."

      Ilustrando a ideia temos:

   Incrivelmente essa afirmação (uma equação) que recebe o nome de um homem que alguns historiadores dizem inclusive que pode nem ter existido, que é uma verdade eterna, mais eterna que um diamante segundo o matemático português Eduardo S. de Cabezon, é universalmente conhecida e inconfundível. Não há sistema educacional no mundo que não fale sobre o assunto. Observe que alguns autores preferem representar a hipotenusa (lado maior do triângulo retângulo) por "a", como é o meu caso, e outros por "c" levando nesse 2º caso a reescrita da equação: 

c² = a² + b²,

e isso pouco importa desde que fique claro quem é a hipotenusa!

   Naturalmente não venho aqui para dizer que sou fã do tal Pitágoras, nem mostrar tais aplicações no mundo real e nem tão pouco falar dos Gifs (Formato de Intercâmbio Gráficos) que ornamentam este blogue, isso é evidente. A popularização da internet e a revolução cultural que as tecnologias digitais propiciam e que ainda surpreendem, garantem que nunca foi tão fácil apreender Matemática e Gifs, entre outros objetos digitais, são coisas que surgem todos os dias na rede mundial elaborados por mentes criativas para ilustrar ideias. Isso sim me encanta, contribui e vira recurso para o ensino e aprendizado. Da minha coleção, que guardo como semijoias do pensamento e que tenho salvo em meu repositório pessoal, tenho alguns preferidos e compartilho logo a seguir o 1º da minha lista, cuja hipotenusa está representada por "c". Veja:

   E agora: 

      

   Uma vez que os quatro triângulos retângulos coloridos são congruentes (de mesma medida), isso nos leva a conclusão que: "A área do quadrado maior é igual a soma das áreas dos dois quadrados menores".   

     Abaixo temos mais 20 animações incríveis e belíssimas, na ordem de minha preferência. Escolha a sua preferida! E se conhece mais alguma que não está por aqui, me envie. Desde já agradeço.

     Ficou curioso sobre o assunto e deseja se aprofundar ? Então acesse esse material da OBMEP, do PIC (Programa de Iniciação Científica Jr. da OBMEP) e bons estudos! 

A esfera é bela

Quem não arrisca não petisca !

    Usando cada dígito de 1 a 9 exatamente uma vez, organize-os nas caixas em forma de quadrado para que as expressões fiquem corretas. As expressões devem ser lidas da esquerda para a direita e de cima para baixo ignorando a ordem usual das operações. Por exemplo, 4 + 3 × 2 é 14 e não 10, como seria o correto. Uma vez organizados os números conforme pedido e portanto solucionado o problema, o produto envolvendo os números colocados nos quadrados verdes será a senha para abrir o cadeado e confirmar a solução. Sucesso! 😉

O que é a Matemática?

   Com a esperança de acolhermos todos os contextos, eis uma questão renitente que nós, professores e matemáticos, escutamos e insistimos em respondê-la com algo próximo do que seja: O que é a Matemática? Certamente não é um esporte para espectadores, e assim, não podemos deixar de amparar a nossa resposta em grandes mestres.

O ilustre Gilberto Geraldo Garbi, cuja honra de assistir suas aulas tive, diz:

As demais ciências que me perdoem, mas a Matemática é sua soberana. Rainha e, ao mesmo tempo, prestativa servidora de todas as outras, a quem generosamente socorre com clareza e eficácia. Isso é ponto pacífico, já assentado há vários séculos, mas os professores e livros pouco falam de como, ao longo da História, ela conquistou esse merecido status.

   No prólogo de “A Rainha das Ciências”, do mesmo autor e cuja leitura recomendo, com minudências temos:

   Não há, portanto, exagero em se afirmar que vivemos em um mundo altamente dependente da Matemática e que ela esta presente em tudo à nossa volta, embora a maior parte das pessoas não se aperceba disso e, não raro, afirme detestá-la.

   Apesar dessa onipresença da Rainha das Ciências e de sua influência sobre a vida de praticamente todas as pessoas, ainda não se encontrou uma resposta satisfatória a uma pergunta simples, já levantada há mais de dois milênios: O que é a Matemática?

   

   Se procurarmos em um dicionário, encontraremos algo assim: “A Matemática é a ciência das quantidades e das formas”. Tal "definição", embora cubra a Aritmética e a Geometria elementares, deixa de englobar muito daquilo que hoje todos aceitam como parte integrante da Matemática, por exemplo a Análise Combinatória, a Teoria das Probabilidades, as Séries Infinitas, a Teoria dos Números Complexos, o Cálculo Matricial, a Teoria dos Grupos, a Teoria Analítica dos Números, a Teoria dos Conjuntos, a Axiomática, a Lógica Matemática, etc. Segundo os matemáticos americanos Philip Davis e Reuben Hersh, existem atualmente mais de 4.000 ramos da Matemática, dentro dos quais publicam-se, a cada ano, cerca de 200.000 novos teoremas. Não é difícil, então, compreender por que qualquer definição que seja dada para aquela ciência encontrará sempre muitas objeções. Em desespero, algumas pessoas chegam a dizer: “Eu não sei o que é Matemática, mas quando a vejo reconheço-a imediatamente”. Outras preferem dizer, com certa dose de razão: “Matemática é aquilo que os matemáticos fazem”. Ainda outras consideram que é impossível definir o que é a Matemática e que ela, em si mesma, é um conceito primitivo.

   Com 4 aulas magníficas do ilustre professor Claudio Possani, do curso de licenciatura em Matemática da UNIVESP, esclarecemos um pouco mais a questão e isso ajuda a compreendê-la e, portanto, nos empenharmos em aprendê-la cada vez mais.

 

Aula 1                                          Aula 2

 

Aula 3                                          Aula 4

  

Um número e um conceito camuflado

   Recentemente, no início de mais um ano letivo com uma turma de 9º ano, todos ainda entusiasmados com a trajetória escolar que se apresentaria e cheios de expectativas para o último ano do ensino fundamental, propus em grupos com 4 estudantes uma lista com alguns problemas matemáticos. Dentre eles o seguinte¹:

Os vértices de um cubo são numerados de 1 a 8 de tal forma que a soma dos quatro números dos vértices de cada face é a mesma para todas as faces. Os números 1, 4 e 6 foram atribuídos a alguns vértices conforme mostrados na figura. Qual é o número do vértice indicado pelo x ?

¹Canguru 2014 -  Nível S

   O objetivo era analisar os argumentos e registros escritos individualmente sobre o modo como resolveriam tal problema, pois assim, teria indícios para planejar as próximas aulas. Naturalmente, muitos utilizaram o método de tentativa e erro e um jovem, que vou chamá-lo aqui de Marcelo, incentivado e no seu devido tempo, resolveu por um caminho inusitado. Esse é o principal motivo deste post, promover reflexões e situações que permitam experiências felizes como essa e que podem produzir nos estudantes memórias positivas em relação ao aprendizado de Matemática. Marcelo utilizou o conceito de média aritmética, que em princípio todos os estudantes até essa etapa escolar já devem conhecer. Vamos revê-lo:

   Chamamos de média aritmética dos números reais positivos a1, a2, a3, … , an ao número denotado por :

e assim definido :

   A média aritmética preserva a soma dos números da lista, conforme podemos concluir logo a seguir :

   Pedi para que explanasse ao grupo o raciocínio utilizado e o fez mais ou menos assim: Supomos que um aluno tirou 3,0 numa prova e 9,0 em outra. A média aritmética entre 3 e 9 é 6,0 e, portanto, embora o aluno não tenha tirado 6, podemos dizer que é como se tivesse tirado, uma vez que a nota mais alta compensa a nota mais baixa. Certo? Pensando assim ele somou: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 e dividiu por 8, pois esse é o número de vértices(ou quantidade de parcelas). Encontrou 4,5 e disse: É como se tivéssemos 4,5 em cada vértice totalizando, entre os 4 vértices de cada face 18. Pronto! A soma dos quatro números dos vértices de cada face é 18. Daí em diante ficou fácil para descobrir o x e todos os números de cada vértice, cada um no seu lugar. Ao final fui surpreendido com aplausos espontâneos dos demais estudantes da turma. Pois é, eles reconhecem facilmente quando alguém tem uma ideia assim. Recentemente encontrei Marcelo, agora no último ano do Ensino Médio, me recordando da felicidade que tinha ao participar das minhas aulas.

   A resolução de problemas, que para muitos gera desconforto, é a espinha dorsal do ensino e aprendizado de Matemática e nem sempre os conceitos envolvidos são tão evidentes. Vários são os motivos, muitas vezes imprevisíveis, para um professor ter mais ou menos sucesso com seus estudantes e a pergunta que deixamos é: Será que os tempos e situações oferecidos pelo sistema educacional, inclusive envolvendo as condições de trabalho do professor, sempre favorecem esse modelo imprescindível de aprendizado? Ou você acredita que ao pensar na lista e preparar aquela aula, coloquei no objetivo final: Resolver as questões de maneira inusitada e felizes os estudantes baterão palmas? Experimente propor problemas desse tipo a diferentes grupos de pessoas em diferentes estados de cansaço físico, mental ou emocional e observe quantos e quais irão utilizar esse conceito, mesmo que leve um certo tempo, provoque-os, mas não aplique ou apresente o conceito “camuflado” imediatamente. A minha parca experiência tem me dito que mesmo pessoas que conhecem conceitos matemáticos e as utilizam em situações corriqueiras não enxergam, na maioria das vezes, toda a Matemática por traz de problemas como nesse caso e isso está relacionado, dentre outras coisas, ao espírito de investigação, clima escolar, persistência, criatividade etc. que a educação, de forma geral, promove com seus atores. É preciso que gestores de educação percebam que aprender Matemática com qualidade leva tempo, investimento e isso não está muito relacionado com excessivas avaliações externas desconexas, com apostilas prontas(como receitas de bolo), fórmulas mágicas, aumento do tempo de permanência na escola(escolas de período integral) e outras baboseiras que são propostas atualmente sem considerar as condições que envolvem o trabalho do professor. Aprender ou ensinar Matemática é um processo complexo que envolve valorização de todos. O que você acha?

Onde está a Matemática?

✽ A Matemática está em toda a parte na Ciência e na Tecnologia. Vejamos alguns exemplos:

- O sucesso dos mecanismos de busca na internet decorre de seus brilhantes algoritmos.
- A criptografia, utilizada em comunicações seguras, é baseada em teoria de números.
- Os equipamentos de imagens médicas – como a tomografia computadorizada ou a ressonância magnética – medem dados brutos e um algoritmo matemático os converte numa imagem.
- A inteligência artificial e a aprendizagem de máquinas estão transformando o mundo: visão computacional, tradução automática, veículos sem motoristas, etc.
- A decodificação do genoma humano é um triunfo da Matemática, da estatística e da computação.
- Com a Matemática fez-se a primeira foto de um buraco negro.

✽ A Matemática está em toda parte na organização das sociedades. Alguns exemplos:

- A Matemática é utilizada para otimizar as redes de transporte e comunicação.
- A Matemática permite compreender e controlar a propagação de epidemias.
- A economia, a saúde pública e a segurança social são mais eficientes quando otimizadas com utilização da estatística e da Matemática.
- A Matemática ajuda na elaboração de sistemas eleitorais que melhor representem a vontade do povo.
- A Matemática permite compreender os riscos e minimizar as consequências dos desastres naturais (enchentes, tremores de terra e furacões).

✽ A Matemática é essencial para atingir os Objetivos do Desenvolvimento Sustentável das Nações Unidas. Alguns exemplos são:

- A Matemática é um instrumento do desenvolvimento. “A educação é a arma mais poderosa que temos para mudar o mundo”, disse-nos Nelson Mandela em junho de 1990. E a Matemática é uma parte essencial da educação, que é necessária para melhores empregos.

- A Matemática é utilizada para modelar as alterações globais e suas consequências para a biodiversidade.

- Técnicas de otimização e análise de dados são necessárias para um uso sustentável dos recursos naturais.

- A educação Matemática capacita as meninas e as mulheres para um melhor futuro.

- A alfabetização numérica e científica permite a cada cidadão uma melhor compreensão dos desafios ao seu redor.

✽ A Matemática está em toda parte e em tudo que fazemos. Alguns exemplos:

- A Matemática inspira artistas e músicos: simetrias, perspectivas, ladrilhamentos, fractais, curvas, superfícies e formas geométricas, sons, escalas e padrões musicais.

- A Matemática ajuda nos jogos de estratégias, do gamão, mancala ou xadrez até a resolução de um cubo mágico.

- A Matemática é fundamental para as suas finanças pessoais ou as da sua empresa.

- Seja para construir ou reparar sua casa, demarcar sua horta ou instalar sua TV, a Matemática é sempre necessária.

- Quer saber quem vai ser o campeão deste ano? Nada melhor do que a Matemática para estimar as probabilidades!

✽ Diga sua atividade ou área e eu conto onde a Matemática está! Alguns exemplos:

- A matemática está presente na geolocalização, desde as navegações pelas estrelas até o GPS.

- A Matemática está nos aplicativos do seu telefone.

- A Matemática permite um sistema de aposentadorias sustentável.

- A Matemática faz filmes de animação realistas.

- Um dia vamos a Marte? Sem a Matemática isto nunca será possível.

Adaptado e extraído de: IDM