Circunferência e círculo: Do ponto à esfera

   

    O que são os objetos em Matemática? Círculo e circunferência são o mesmo objeto? A palavra circum em latim quer dizer ao redor. Mas ao redor do quê? Vamos descobrir? Marque um ponto P numa folha de papel.

    Usando régua, marque outro ponto sobre a folha mas que esteja, por exemplo, a 4 centímetros de distância de P.

    Vá girando a régua e marcando, ao redor de P, outros pontos distantes 4 cm de P.

    Você concorda que podemos marcar sobre a folha infinitos pontos com essa mesma distância de P? Eles vão ficar cada vez mais próximos um do outro, até formar uma linha fechada ao redor de P. Essa linha curva e fechada recebe o nome de circunferência.

    Portanto, para traçar uma circunferência, precisamos fixar um ponto(o centro) e uma distância(o raio). P é o centro da circunferência. A distância de P até qualquer ponto da circunferência é o raio, que geralmente representamos por r.

Assim, definimos:

    A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano (em nosso desenho, o plano é a folha do caderno), que estão a uma mesma distância de um ponto fixo(P).

    Círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo P é menor ou igual a uma distância r(raio) dada.

    E se sairmos do plano? Imagine o ponto P no espaço. Você pode marcar mentalmente os pontos do espaço que estão a 4 cm de P. Visualize o que formaria: uma casca esférica! Uma bola oca! Algo como uma bolha de sabão flutuando no ar.

Agora é com você! O que é uma esfera?

 Adaptado de: PEC - Projeto Escola e Cidadania: Matemática /

 Maria José C. V. Zampirolo, Et al. - São Paulo: Editora do Brasil, 2000.

Pense num Pitágoras animado !

   Alguns chamam de "Tio Pit" e uma grande maioria simplesmente de Pitágoras. Se fizermos uma busca na internet pelo termo, inevitavelmente cairemos no famoso Teorema (com o "t" maiúsculo mesmo):

   "Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos."

      Ilustrando a ideia temos:

   Incrivelmente essa afirmação (uma equação) que recebe o nome de um homem que alguns historiadores dizem inclusive que pode nem ter existido, que é uma verdade eterna, mais eterna que um diamante segundo o matemático português Eduardo S. de Cabezon, é universalmente conhecida e inconfundível. Não há sistema educacional no mundo que não fale sobre o assunto. Observe que alguns autores preferem representar a hipotenusa (lado maior do triângulo retângulo) por "a", como é o meu caso, e outros por "c" levando nesse 2º caso a reescrita da equação: 

c² = a² + b²,

e isso pouco importa desde que fique claro quem é a hipotenusa!

   Naturalmente não venho aqui para dizer que sou fã do tal Pitágoras, nem mostrar tais aplicações no mundo real e nem tão pouco falar dos Gifs (Formato de Intercâmbio Gráficos) que ornamentam este blogue, isso é evidente. A popularização da internet e a revolução cultural que as tecnologias digitais propiciam e que ainda surpreendem, garantem que nunca foi tão fácil apreender Matemática e Gifs, entre outros objetos digitais, são coisas que surgem todos os dias na rede mundial elaborados por mentes criativas para ilustrar ideias. Isso sim me encanta, contribui e vira recurso para o ensino e aprendizado. Da minha coleção, que guardo como semijoias do pensamento e que tenho salvo em meu repositório pessoal, tenho alguns preferidos e compartilho logo a seguir o 1º da minha lista, cuja hipotenusa está representada por "c". Veja:

   E agora: 

      

   Uma vez que os quatro triângulos retângulos coloridos são congruentes (de mesma medida), isso nos leva a conclusão que: "A área do quadrado maior é igual a soma das áreas dos dois quadrados menores".   

     Abaixo temos mais 20 animações incríveis e belíssimas, na ordem de minha preferência. Escolha a sua preferida! E se conhece mais alguma que não está por aqui, me envie. Desde já agradeço.

     Ficou curioso sobre o assunto e deseja se aprofundar ? Então acesse esse material da OBMEP, do PIC (Programa de Iniciação Científica Jr. da OBMEP) e bons estudos! 

A esfera é bela

Quem não arrisca não petisca !

    Usando cada dígito de 1 a 9 exatamente uma vez, organize-os nas caixas em forma de quadrado para que as expressões fiquem corretas. As expressões devem ser lidas da esquerda para a direita e de cima para baixo ignorando a ordem usual das operações. Por exemplo, 4 + 3 × 2 é 14 e não 10, como seria o correto. Uma vez organizados os números conforme pedido e portanto solucionado o problema, o produto envolvendo os números colocados nos quadrados verdes será a senha para abrir o cadeado e confirmar a solução. Sucesso! 😉

O que é a Matemática?

   Com a esperança de acolhermos todos os contextos, eis uma questão renitente que nós, professores e matemáticos, escutamos e insistimos em respondê-la com algo próximo do que seja: O que é a Matemática? Certamente não é um esporte para espectadores, e assim, não podemos deixar de amparar a nossa resposta em grandes mestres.

O ilustre Gilberto Geraldo Garbi, cuja honra de assistir suas aulas tive, diz:

As demais ciências que me perdoem, mas a Matemática é sua soberana. Rainha e, ao mesmo tempo, prestativa servidora de todas as outras, a quem generosamente socorre com clareza e eficácia. Isso é ponto pacífico, já assentado há vários séculos, mas os professores e livros pouco falam de como, ao longo da História, ela conquistou esse merecido status.

   No prólogo de “A Rainha das Ciências”, do mesmo autor e cuja leitura recomendo, com minudências temos:

   Não há, portanto, exagero em se afirmar que vivemos em um mundo altamente dependente da Matemática e que ela esta presente em tudo à nossa volta, embora a maior parte das pessoas não se aperceba disso e, não raro, afirme detestá-la.

   Apesar dessa onipresença da Rainha das Ciências e de sua influência sobre a vida de praticamente todas as pessoas, ainda não se encontrou uma resposta satisfatória a uma pergunta simples, já levantada há mais de dois milênios: O que é a Matemática?

   

   Se procurarmos em um dicionário, encontraremos algo assim: “A Matemática é a ciência das quantidades e das formas”. Tal "definição", embora cubra a Aritmética e a Geometria elementares, deixa de englobar muito daquilo que hoje todos aceitam como parte integrante da Matemática, por exemplo a Análise Combinatória, a Teoria das Probabilidades, as Séries Infinitas, a Teoria dos Números Complexos, o Cálculo Matricial, a Teoria dos Grupos, a Teoria Analítica dos Números, a Teoria dos Conjuntos, a Axiomática, a Lógica Matemática, etc. Segundo os matemáticos americanos Philip Davis e Reuben Hersh, existem atualmente mais de 4.000 ramos da Matemática, dentro dos quais publicam-se, a cada ano, cerca de 200.000 novos teoremas. Não é difícil, então, compreender por que qualquer definição que seja dada para aquela ciência encontrará sempre muitas objeções. Em desespero, algumas pessoas chegam a dizer: “Eu não sei o que é Matemática, mas quando a vejo reconheço-a imediatamente”. Outras preferem dizer, com certa dose de razão: “Matemática é aquilo que os matemáticos fazem”. Ainda outras consideram que é impossível definir o que é a Matemática e que ela, em si mesma, é um conceito primitivo.

   Com 4 aulas magníficas do ilustre professor Claudio Possani, do curso de licenciatura em Matemática da UNIVESP, esclarecemos um pouco mais a questão e isso ajuda a compreendê-la e, portanto, nos empenharmos em aprendê-la cada vez mais.

 

Aula 1                                          Aula 2

 

Aula 3                                          Aula 4

  

Um número e um conceito camuflado

   Recentemente, no início de mais um ano letivo com uma turma de 9º ano, todos ainda entusiasmados com a trajetória escolar que se apresentaria e cheios de expectativas para o último ano do ensino fundamental, propus em grupos com 4 estudantes uma lista com alguns problemas matemáticos. Dentre eles o seguinte¹:

Os vértices de um cubo são numerados de 1 a 8 de tal forma que a soma dos quatro números dos vértices de cada face é a mesma para todas as faces. Os números 1, 4 e 6 foram atribuídos a alguns vértices conforme mostrados na figura. Qual é o número do vértice indicado pelo x ?

¹Canguru 2014 -  Nível S

   O objetivo era analisar os argumentos e registros escritos individualmente sobre o modo como resolveriam tal problema, pois assim, teria indícios para planejar as próximas aulas. Naturalmente, muitos utilizaram o método de tentativa e erro e um jovem, que vou chamá-lo aqui de Marcelo, incentivado e no seu devido tempo, resolveu por um caminho inusitado. Esse é o principal motivo deste post, promover reflexões e situações que permitam experiências felizes como essa e que podem produzir nos estudantes memórias positivas em relação ao aprendizado de Matemática. Marcelo utilizou o conceito de média aritmética, que em princípio todos os estudantes até essa etapa escolar já devem conhecer. Vamos revê-lo:

   Chamamos de média aritmética dos números reais positivos a1, a2, a3, … , an ao número denotado por :

e assim definido :

   A média aritmética preserva a soma dos números da lista, conforme podemos concluir logo a seguir :

   Pedi para que explanasse ao grupo o raciocínio utilizado e o fez mais ou menos assim: Supomos que um aluno tirou 3,0 numa prova e 9,0 em outra. A média aritmética entre 3 e 9 é 6,0 e, portanto, embora o aluno não tenha tirado 6, podemos dizer que é como se tivesse tirado, uma vez que a nota mais alta compensa a nota mais baixa. Certo? Pensando assim ele somou: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 e dividiu por 8, pois esse é o número de vértices(ou quantidade de parcelas). Encontrou 4,5 e disse: É como se tivéssemos 4,5 em cada vértice totalizando, entre os 4 vértices de cada face 18. Pronto! A soma dos quatro números dos vértices de cada face é 18. Daí em diante ficou fácil para descobrir o x e todos os números de cada vértice, cada um no seu lugar. Ao final fui surpreendido com aplausos espontâneos dos demais estudantes da turma. Pois é, eles reconhecem facilmente quando alguém tem uma ideia assim. Recentemente encontrei Marcelo, agora no último ano do Ensino Médio, me recordando da felicidade que tinha ao participar das minhas aulas.