Já sabemos que números racionais são decimais exatos ou dízimas periódicas que podem ser escritos na forma fracionária. Veja:
2 =
; – 4
=
; 1,2 =
; 0,625
=
;
0,666... = 
; –
1,888... = –
; –
1,999... = –
.
Mas nem todo número pode ser escrito na forma fracionária.
Vamos compreender melhor essa ideia. Considere o segmento de reta 
e fixemos um segmento de reta
unitário u como unidade de medida
de comprimento. Por exemplo, a medida de comprimento de u é igual a 1
cm.
Como u cabe exatamente 4 vezes no e a medida de comprimento de u
é igual a 1 cm, dizemos que a medida de comprimento do é de 4 cm.
Consideremos
agora um segmento de reta 
e o mesmo segmento de reta
unitário u com medida de comprimento
de 1 cm.
Neste caso, u não
cabe um número inteiro de vezes no . Então, devemos procurar um segmento de reta v
que caiba um número inteiro de vezes
em u e, assim, um número inteiro
de vezes no . Neste exemplo, se tomarmos a medida de
comprimento de v igual a 
cm, então v
caberá 2 vezes em u e 9 vezes no .
Assim, a medida
de comprimento do será igual
a:
9 . cm = 
cm = 4,5
cm.
Note
que a medida de comprimento do , em centímetros, é o número racional 4,5.
Quando
isso ocorre, ou seja, quando é possível encontrar um segmento de reta v nas condições acima, dizemos que o
segmento de reta e o segmento de reta u são
comensuráveis.
Pensou-se, por muitos séculos, que 2 segmentos de reta quaisquer sempre eram comensuráveis, ou seja, que o comprimento de um pode ser medido pelo outro e essa medida de comprimento é um número racional. Essa crença permaneceu até o quarto século antes de Cristo.
Naquela
época, em Crotona, no sul da Itália, Pitágoras liderava uma escola que se
dedicava ao estudo de Filosofia, Matemática e Música. Os discípulos de
Pitágoras também acreditavam que só existiam segmentos de reta comensuráveis.
Porém, foram eles próprios que descobriram, por exemplo, que o lado e a
diagonal de um quadrado são segmentos de reta incomensuráveis.
Isso significa que a medida de comprimento da
diagonal do quadrado (d) não pode ser expressa por um número
racional, tomando a medida de comprimento do lado do quadrado (
) como
unidade de medida.
Podemos concluir que: quando o segmento de reta é comensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número racional; e quando é incomensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número irracional. Assim, com os números racionais e os números irracionais, todos os segmentos de reta podem ter os comprimentos medidos.
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