A prova

Dizem por aí que a raiz quadrada de dois é um dos números responsáveis pela 1ª crise entre os matemáticos gregos, pois o teorema de Pitágoras garantia (e garante até hoje), que esse valor é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade. Nenhum problema haveria se na época os pitagóricos acreditassem que a ideia de número era apenas para os números inteiros e os fracionários (hoje conhecidos como racionais), quando, um dos seguidores, Hipaso de Metaponto, provou e revelou ao mundo a existência dos irracionais, contrariando princípios da escola, e por isso condenado a morte. Para os pitagóricos os números regulavam o mundo (... e até então, não conseguiam dar conta de algo tão elementar: a diagonal de um quadrado.). Foi só no século III a.C. com Euclides de Alexandria que veio a prova: a raiz quadrada de dois não é racional e, portanto existem números não-racionais. Euclides usou um raciocínio, que veremos adiante, denominado de “redução ao absurdo”. Antes, vamos rever e calcular a raiz quadrada de 2 com aproximação decimal, já que se trata de um número irracional. Veja:

1² = 1 e 2² = 4

Logo o valor decimal da raiz quadrada de dois está entre 1 e 2 e escrevemos: Agora vamos considerar, eventualmente, alguns valores entre 1 e 2 para elevarmos ao quadrado e chegaremos a conclusão que:

1,4² = 1,96 e 1,5² = 2,25

Logo o valor decimal está entre 1,4 e 1,5 e escrevemos: Continuando a aproximação decimal até a 2ª casa decimal, encontraremos:

1,41² = 1,9881 e 1,42² = 2,0164

logo sabemos que o valor decimal está entre 1,41 e 1,42 e escrevemos: Aproximando mais ainda encontraremos como valor decimal da raiz quadrada de dois até a 3ª casa decimal:

1,414² = 1,999396 e 1,415² = 2,002225

E concluímos que está entre 1,414 e 1,415 e escrevemos:

Prosseguindo infinitamente, encontraremos a raiz quadrada aproximada de 2 com quantas casas decimais desejarmos, sem, entretanto, encontrarmos um número decimal cujo quadrado dê exatamente 2. Como curiosidade observe o valor decimal aproximado com 30 casas decimais e obtido na calculadora (Deixo aqui registrado os agradecimentos ao santo das calculadoras com mais de 12 dígitos!!!):

Num primeiro momento e intuitivamente isso é suficiente para dizer aos estudantes da educação básica, que estamos diante de um número irracional. Mas será que isso garante a irracionalidade desse número? Não. É necessário a prova, a demonstração, as garantias que mesmo sendo um número decimal infinito em nenhum momento ele vai ter um período (Parte que se repete infinitamente) como, por exemplo, no número: 1,414444... que é um número racional pois é possível escrevê-lo na forma de fração. Então vamos lá.

Sejamos bem vindos aos irracionais.