Investigando, argumentando e demonstrando

    

    Em Matemática, é comum formularmos afirmações que servem de alicerce para a construção do conhecimento. Essas declarações, por mais sólidas que pareçam, podem se tornar problemáticas quando um estudante diz: “Não entendi a lógica por trás disso.” Por isso, sempre que possível, é essencial que essas proposições sejam comprovadas — não apenas para validar seu conteúdo, mas para tornar o raciocínio acessível e transparente.

    Vamos analisar uma proposição:

 “Se a e b são números inteiros pares quaisquer, então a soma a + b é um número par” 

Para concluir que ela é sempre verdadeira é suficiente constatar que a proposição é válida para alguns casos particulares?

6 + 4 = 10;     118 + 124 = 242;

0 + 100 = 100;     –8 + 28 = 20;

–30 + 28 = –2;     –10 + 10 = 0  etc.

Poderíamos sugerir uma infinidade de outros exemplos e mesmo assim não garantiríamos para sempre a veracidade da afirmação! 

    Do ponto de vista da Matemática, prevalece o método dedutivo, em que uma propriedade matemática só é validada por meio de uma demonstração. Na Matemática, uma propriedade (ou um teorema) é uma proposição do tipo “Se p então q”, em que p é a hipótese e q é a tese.

    A demonstração é uma sequência (finita) de passos lógicos que permitem, a partir de p, concluir que q é verdadeira. Na proposição inicial, a hipótese é “a e b são números inteiros pares quaisquer” e a tese é “a + b é um número par”.

    Acompanhe a demonstração dessa propriedade. 

    Como a é um número inteiro par, podemos escrevê-lo na forma a = 2.m, em que m ∈ ℤ. Analogamente b = 2.n, em que n ∈ ℤ.

Daí:  a + b = 2.m + 2.n = 2.(m + n) ,  em que (m + n) ∈ ℤ.

Como m e n são inteiros, a soma m + n é um número inteiro e a + b resulta em um número múltiplo de 2, fica demonstrado que a + b é um número par. 

    Nem toda proposição matemática é verdadeira. Veja a seguinte:

“Se a é um número inteiro múltiplo de 3, 

então a é múltiplo de 6.”

Podemos verificar que a proposição é falsa, pois existem múltiplos de 3 que não são múltiplos de 6, como, por exemplo, 3, 9, 15, 21 etc. Cada um desses valores corresponde a um contraexemplo. Um contraexemplo em Matemática é um exemplo específico que mostra que uma afirmação geral é falsa. Ele serve para refutar uma conjectura ou proposição, demonstrando que nem sempre ela é verdadeira. Pronto! Basta um contraexemplo para refutar a afirmação.

    Agora é com você! Apresentamos algumas proposições envolvendo elementos do conjunto dos números inteiros. Decida se elas são verdadeiras ou falsas, exibindo uma demonstração para as verdadeiras e um contraexemplo para as falsas.

I) Se a e b são números inteiros ímpares, então (a + b) é um número par.

II) Se a é um número inteiro par, então a² é um número par.

III) Se a é um número inteiro múltiplo de 6, então a é múltiplo de 3.

IV) Se a é um número inteiro divisível por 5, então a é divisível por 10.

V) Se a, b e c são números inteiros e consecutivos, então (a + b + c) é um número inteiro múltiplo de 3.

VI) Se a e b são números inteiros e consecutivos, então (a² + b²) é um número ímpar.

VII) Se n é um número natural qualquer, então (n² + n + 41) é um número primo.

    Para aprofundar o assunto, no portal da Matemática da OBMEP tem um super módulo sobre: Introdução à lógica Matemática e que recomendamos muito o estudo. Abraços! 

Adaptado de: Gelson Iezzi... [et. al.] - Matemática: ciência e aplicações, 1º ano:

Ensino Médio - p.22 - São Paulo: Editora Saraiva, 2016

O poder da matemática na era digital

A matemática se transformou em uma influência

 onipresente, moldando todos os aspectos de nossas vidas, escreve

 Ian Vander Burgh

    A era digital é, em muitos aspectos, uma era matemática porque a matemática serve como linguagem e base de quase todas as facetas da tecnologia e inovação digital. Os exemplos incluem IA, criptomoeda, ciência de dados e segurança cibernética. Quaisquer avanços futuros na tecnologia digital devem basear-se em conhecimentos matemáticos.

    Nesta era digital, a matemática transformou-se numa influência onipresente, moldando todos os aspectos das nossas vidas. Dos algoritmos que sugerem nosso próximo programa digno de farra na Netflix aos cálculos intrincados que orientam os mercados financeiros, a matemática constitui a base do cenário digital em que navegamos. O seu impacto vai além da mera computação; A matemática é a principal linguagem através da qual nosso mundo movido pela tecnologia se comunica.

    Em sua essência, a matemática gira em torno de padrões, relacionamentos e estruturas. Numa era de fluxos constantes de dados e de crescente complexidade técnica, estes princípios matemáticos tornaram-se indispensáveis ​​em quase todas as tecnologias em que confiamos. Buscar esses padrões, relações e estruturas não é domínio exclusivo dos matemáticos; fazemos isso como humanos em nossas vidas diárias. 

Construções matemáticas

    Os algoritmos, a força vital da tecnologia moderna, dependem do raciocínio matemático para decifrar a enorme quantidade de dados gerados diariamente. Seja refinando os resultados dos mecanismos de pesquisa, prevendo padrões climáticos ou permitindo que veículos autônomos naveguem no trânsito, os algoritmos são construções matemáticas que transformam dados brutos em insights acionáveis.

    O aprendizado de máquina, aspecto fundamental da inteligência artificial, exemplifica a sinergia entre a matemática e o domínio digital. As redes neurais, refletindo as interconexões dos neurônios humanos, operam em estruturas matemáticas intrincadas para processar e aprender. A matemática sustenta essas redes neurais, pois elas reconhecem padrões para realizar tarefas complexas, como reconhecimento de imagens, tradução de idiomas e diagnóstico médico preciso.

    Os domínios da criptomoeda e do blockchain, tecnologias que desafiam os sistemas financeiros tradicionais, também assentam numa base matemática. Os protocolos criptográficos que garantem transações seguras envolvem conceitos matemáticos sofisticados, como fatoração de primos e criptografia de curva elíptica. Estes mecanismos matemáticos protegem a maioria das transações financeiras hoje.

Números unificados

    Na ciência de dados, outra faceta da revolução digital, a matemática desempenha um papel central. Big data é inerentemente matemático, uma vasta extensão de números unificados por métodos estatísticos. Insights derivados de big data orientam decisões em vários setores, desde saúde até marketing, inaugurando uma era impulsionada por dados em que a modelagem matemática molda estratégias e inovações.

    No entanto, a era digital apresenta novos desafios matemáticos. A cibersegurança, por exemplo, surge como um campo de batalha onde a matemática serve tanto como arma ofensiva como defensiva. Os algoritmos de criptografia protegem nossas comunicações, enquanto os criptoanalistas utilizam ferramentas matemáticas para quebrar essas barreiras. Esta luta contínua sublinha a natureza dinâmica da Matemática como uma disciplina que evolui com os avanços tecnológicos.

    Não é exagero afirmar que a Matemática é a pedra angular da era digital, que funciona como a linguagem através da qual a tecnologia comunica, a lógica por detrás dos algoritmos e a base da análise de dados. A sua influência vai além da computação, moldando as nossas interações com o mundo em diversas áreas, desde o entretenimento e a arte até às finanças e à ciência.

    À medida que navegamos neste cenário em evolução, a potência da Matemática impulsiona-nos para um futuro onde o digital e a matemática se fundem perfeitamente. Então, o que significa essa confiança e onipresença da matemática? Significa que não devemos mais temer a Matemática; precisamos abraçá-la. Significa que não devemos considerar a matemática apenas uma “disciplina de apoio”; devemos reconhecer que aqueles que se aprofundam na matemática avançada têm algo a oferecer em todos os campos importantes do nosso mundo.

    Além disso, significa que mesmo os indivíduos que não se consideram utilizadores regulares de Matemática devem explorar as suas capacidades matemáticas inatas. Uma base sólida nas ciências matemáticas fornece uma bússola, guiando-nos em direção à inovação, compreensão e crescimento contínuo na era digital.     

(O autor é diretor do Centro de Educação em Matemática e Computação da Universidade de Waterloo) - Texto adaptado de ► (*) 

πerímetro

     Você sabia que o uso da letra grega pi (π) vem da palavra perímetro? Em grego antigo, perímetro é escrito da seguinte forma:

περίμετρος

    Em 1737, o matemático suíço Leonhard Paul Euler popularizou a inicial dessa palavra grega para indicar o quociente constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência, ou seja,

     

▲ clique

    Foi também nessa época que os matemáticos conseguiram demonstrar que "pi" é um número irracional, ou seja, que possui infinitas casas decimas após a vírgula e não possui período. Observe logo abaixo "pi" com 500 casas decimais, agrupadas de 25 em 25 ( ... ou clique e veja o primeiro milhão de casas decimais ! ):

Incomensurabilidade e os irracionais

     

    Já sabemos que números racionais são decimais exatos ou dízimas periódicas que podem ser escritos na forma fracionária. Veja:

2 =   ;      – 4 =   ;     1,2 =   ;      0,625 =   ; 

0,666... =  ;  – 1,888... = –  ;   – 1,999... = – .

Mas nem todo número pode ser escrito na forma fracionária.

    A existência de segmentos incomensuráveis implica na insuficiência dos números racionais e, portanto, na ampliação do conceito de número. Essa ampliação permite efetuar medidas dos objetos geométricos mais simples, como o quadrado e o círculo.

    Vamos compreender melhor essa ideia. Considere o segmento de reta  e fixemos um segmento de reta unitário u como unidade de medida de comprimento. Por exemplo, a medida de comprimento de u é igual a 1 cm.

Como u  cabe exatamente 4 vezes no  e a medida de comprimento de u é igual a 1 cm, dizemos que a medida de comprimento do  é de 4 cm.

Consideremos agora um segmento de reta  e o mesmo segmento de reta unitário u  com medida de comprimento de 1 cm.

Neste caso, u não cabe um número inteiro de vezes no . Então, devemos procurar um segmento de reta v que caiba um número inteiro de vezes em u  e, assim, um número inteiro de vezes no . Neste exemplo, se tomarmos a medida de comprimento de v  igual a  cm, então v caberá 2 vezes em u e 9 vezes no .

Assim, a medida de comprimento do  será igual a:

 9 .  cm =  cm = 4,5 cm.

Note que a medida de comprimento do , em centímetros, é o número racional 4,5.

Quando isso ocorre, ou seja, quando é possível encontrar um segmento de reta v  nas condições acima, dizemos que o segmento de reta  e o segmento de reta u são comensuráveis.

Pensou-se, por muitos séculos, que 2 segmentos de reta quaisquer sempre eram comensuráveis, ou seja, que o comprimento de um pode ser medido pelo outro e essa medida de comprimento é um número racional. Essa crença permaneceu até o quarto século antes de Cristo.

Naquela época, em Crotona, no sul da Itália, Pitágoras liderava uma escola que se dedicava ao estudo de Filosofia, Matemática e Música. Os discípulos de Pitágoras também acreditavam que só existiam segmentos de reta comensuráveis. Porém, foram eles próprios que descobriram, por exemplo, que o lado e a diagonal de um quadrado são segmentos de reta incomensuráveis.

Isso significa que a medida de comprimento da diagonal do quadrado (d) não pode ser expressa por um número racional, tomando a medida de comprimento do lado do quadrado () como unidade de medida.

Podemos concluir que: quando o segmento de reta é comensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número racional; e quando é incomensurável com a unidade de medida escolhida, a medida dele é um número irracional. Assim, com os números racionais e os números irracionais, todos os segmentos de reta podem ter os comprimentos medidos.

Adaptado de: Dante, Luiz Roberto - Teláris Matemática, 9º ano :

 Ensino Fundamental - 3. ed. - p.17 - São Paulo: Editora Ática, 2018.