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sábado, 28 de fevereiro de 2015

Os coelhos de Fibonacci


Já ouviu falar na sequência de Fibonacci ? Ela aparece no Liber Abbaci sob a forma de um problema:

Um senhor colocou um casal de coelhos num cercado. Quantos casais de coelhos podem ser gerados a partir desse casal ao fim de um ano, sabendo que, por mês, cada casal gera um novo casal, que se reproduz no segundo mês de vida?

Este problema tem uma resolução simples. No primeiro mês, existe apenas o casal de coelhos inicial. No segundo mês, este ficou mais maduro, porém não está ainda na fase reprodutiva. No terceiro mês, nasceu outro casal. No quarto mês, o casal inicial teve outro casal, enquanto os seus primeiros filhos cres­ciam. No quinto mês, tanto o casal inicial como os seus primeiros filhos, já em fase reprodutiva, tiveram dois novos casais de coelhos, etc. A sequência que se origina é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Esta sequência, conhecida como sequência de Fibonacci, está relacionada com estudos de crescimentos populacionais de várias espécies da natureza. Na ilustração abaixo temos situação relativa ao crescimento popula­cional dos coelhos (admitindo não haver mortes) – os casais de coelhos pequenos acabaram de nascer.


Temos, portanto, um padrão: cada termo é obtido somando - se ...
sequência de Fibonacci não aparece apenas na natureza. Ficou curioso? Encontre a resposta para o problema e pesquise um pouco mais o assunto. Você se surpreenderá!! 

sexta-feira, 30 de janeiro de 2015

Lei dos senos: não basta aplicá-la


"Em um triângulo ABC, com lados medindo a, b e c, qualquer que seja esse triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles". Essa afirmação é conhecida como Lei dos senos ou Teorema dos senos. Podemos comprovar que a razão, decorrente dessa proporção, entre a medida de um lado do triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao dobro da medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo." 


Vamos a demonstração:

Como todo triângulo é inscritível, inscreva o triângulo ABC em uma circunferência e trace um diâmetro partindo de um dos vértices do triângulo, como na figura abaixo:


Pelo fato de BP ser um diâmetro, segue que BCP = 90º (veja aqui). Usando o seno como uma razão trigonométrica no triângulo retângulo, têm-se:


Analogamente concluímos que:


Bom... agora assista uma aplicação desse teorema aqui.

terça-feira, 30 de dezembro de 2014

O grau ( ° ), o radiano ( rad ) e o π


A parte da circunferência definida entre dois pontos é chamada de arco. As medidas mais tradicionais de um arco são o grau ( ° ) e o radiano ( rad ). Qual a relação entre estes dois objetos, ou seja, entre essas duas medidas? O arco de um grau é a trecentésima sexagésima parte de uma circunferência, enquanto que o radiano é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência.


Observação: O termo “radiano” pode ser suprimido quando não houver dúvida que o arco em questão está em radiano.

Como já sabemos a constante π é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, ou seja, π é igual ao arco total ( uma volta completa ) dividido pelo seu diâmetro e isso nos leva a concluir que a medida do arco de uma circunferência em radianos é igual a 2π. Veja:



Uma consequência do resultado anterior é que uma circunferência é um arco de 360° , ou 2π radianos e dessa forma estabelecemos uma relação importante onde cada π rad é igual a 180°. Veja a animação a seguir e que ilustra esse fato  .

domingo, 30 de novembro de 2014

Nossos Premiados na OBMEP 2014!


Parabéns a todos os alunos da Escola Estadual Prefeito Antônio Prátici que participaram da 10ª Olimpíada Brasileira de Matemática e com muita alegria recebemos os premiados.

Premiados com medalhas:
JoHNSON SALVADOR MIYASAKI ( ouro )
Leonardi da Silva Alexandria ( Bronze )

Premiados com menção honrosa:
Iggor Cassio dos Santos Alves
JOHNATAN RODRIGUES OLIVEIRA
LUCAS ANDREW LOPES
MALCOLM DA COSTA VALLE
MARCELO SENA SOUZA JUNIOR
gabriel dos santos silva
GEOVANNA D’ONOFRIO DE MORAES
iago bandeira de souza
IGOR OLIVEIRA DE MELO
KEMUEL MIRRAI NUNES DE CARVALHO
LUCAS DOMINIQUE DA COSTA VALLE
NATHANN SANTOS OLIVEIRA
EDUARDO SENA GUERREIRO CHAVES
GABRIEL DIAS MOTA SILVA
IGOR DE MORAES SAMPAIO
IGOR TOMACHIGE C. DO NASCimento
LARISSA BISPO DOS SANTOS
MATHEUS ALEXANDER BUENO VIEIRA
RENATO ANDRADE LIMA

Consulte o site oficial: OBMEP
Leia também as instruções sobre o PIC(Programa de Iniciação Científica Jr.). Acesse aqui.

quinta-feira, 30 de outubro de 2014

Você sabia que...



As relações trigonométricas na circunferência foram estabelecidas inicialmente pelos gregos, sendo o astrônomo Hiparco (c. 180 - 125 a.C.) um dos seus mais importantes contribuintes. Um dos sucessores de HiparcoCláudio Ptolomeu (90 d.C. -  150 d.C.) astrônomo, geógrafo, físico e matemático da Universidade de Alexandria nascido no Egito, construiu uma notável tábua de cordas determinadas pelo ângulo central de uma circunferência. Essa tábua de cordas equivale ao que conhecemos hoje como tabela trigonométrica dos senos.

terça-feira, 30 de setembro de 2014

Curiosidade...

O alemão David Hilbert, freqüentemente considerado um dos maiores matemáticos do século XX, principalmente pela proposição de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje, ao perceber que um de seus alunos tinha parado de vir às suas aulas e alguém lhe disse que o aluno havia decidido abandonar a Matemática para se tornar poeta, Hilbert respondeu: “É bom – ele não tinha imaginação suficiente para se tornar um matemático”.

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"" - Pensador