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sábado, 30 de agosto de 2014

Convenções em Matemática: Sem equívocos

Veja três versões da mesma resposta para uma equação algébrica. Qual você prefere?
Alguma dessas versões é mais fácil de ler e, ao mesmo tempo, elegante em sua escrita? Perceber e adotar convenções matemáticas pode tornar sua notação uniforme, compreensível e um pouco mais fácil de ser comparada com outras expressões algébricas.
Assim, convencionar é estabelecer, dentro de um determinado contexto, certas normas que posteriormente serão usadas. Essas normas nascem de uma necessidade prática e devem ser aceitas e adotadas por aqueles que ensinam e estudam matemática. As convenções também evitam que não haja mal uso ou má interpretação de quaisquer objetos com os quais se trabalhe, e ainda pode estabelecer certos casos complementares de uma definição.
Por exemplo, a raiz quadrada de um número real positivo a é definida como sendo o número real positivo r tal que a = r²Mas nessa definição, se r satisfizesse a equação anterior, então −r também satisfaria a equação, já que r² = (−r)². Dessa forma, se não houvesse restrição ao sinal de r, então todo número positivo teria duas raízes, uma positiva e outra negativa e, ao falarmos sobre “raiz quadrada de um número”, a qual delas estaríamos nos referindo? Já em outros casos, dependendo do uso que se irá fazer, pode-se convencionar que:
Quando alguém for trabalhar com raízes, deve convencionar, logo de início, o que significa “raiz”. Dessa maneira não haverá ambiguidades. Pensando assim, adotaremos a definição de raiz quadrada que demos no início do parágrafo. O que dizer então da ordem das coordenadas de um ponto P(x,y) no plano cartesiano? Podem ser representadas como P(y,x)Outro exemplo: o número 0(zero) é ou não um número natural? Depende do que você previamente convencione! Se o importante é usar o conjunto dos números naturais para contar, então não faz sentido colocar o zero. Atente que ninguém começa a contar a partir do zero: “zero, um, dois, três, etc”. Caso o que se precise seja a existência de um elemento neutro da adição no conjunto dos números naturais, então se considera o zero como um número natural. Tudo se resume a previamente estabelecer a definição dos objetos que irá usar. Como último exemplo, define-se fatorial de um número natural n como:
n! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ... · 3 · 2 · 1
Ora, esta definição não faz sentido para n=0, mas, na prática, o número 0! (zero fatorial) aparece. Por necessidade prática, convenciona-se que 0! = 1, caso que não aparece na definição geral. Há vários outros casos em que convenções desse tipo são necessárias e, o mais importante, imprescindíveis.
Lembramos novamente, que quando for utilizar ou estudar qualquer definição, é prudente logo de início, deixar e observar todos os conceitos claramente explicados e entendidos e o que cada palavra utilizada na definição há de significar!

*Adaptado do livro de  Daniel Cordeiro de Morais Filho - Um convite á Matemática                                   

quarta-feira, 30 de julho de 2014

Dica do mestre


Em um dos livros do ilustre Prof. Geraldo Ávila encontramos a dica:

“Ninguém aprende Matemática ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas claras que sejam as suas preleções, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso ajuda muito, mas é preciso estudar por conta própria logo após as aulas, antes que o benefício delas desapareça com o tempo. Portanto, você, leitor, não vai aprender Matemática porque assiste aulas, mas por que estuda. E esse estudo exige muita disciplina e concentração: estuda-se sentado á mesa, com lápis e papel a mão, prontos para serem usados a todo momento. Você tem de interromper a leitura com frequência, para ensaiar a sua parte: fazer um gráfico ou diagrama, escrever alguma coisa ou simplesmente rabiscar uma figura que ajude a seguir o raciocínio do livro, sugerir ou testar uma ideia; escrever uma fórmula, resolver uma equação ou fazer um cálculo que verifique se alguma afirmação do livro está mesma correta. Por isso mesmo, não espere que o livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrário, esse leitor será induzido a uma situação passiva, quando o mais importante é desenvolver as habilidades para o trabalho independente, despertando a capacidade de iniciativa individual e a criatividade. Você estará fazendo progresso realmente significativo quando sentir que está conseguindo aprender sozinho, sem ajuda do professor; quando sentir que está realmente “aprendendo a aprender...”.

Inspire-se...

segunda-feira, 30 de junho de 2014

Fazendo média aritmética


  Um professor aplica 2 provas com nota de zero até 10, por bimestre, e faz a média aritmética entre as notas. Para gerar a nota bimestral, ele ainda acrescenta 1 ponto de participação nas atividades em aula. Supondo que ele atribuísse uma nota de zero até 10, também, para a participação nas atividades em aula e fizesse a média entre as 3 notas, um aluno que ficou com média 6 em duas provas e teve mais 1 ponto de participação nas atividades em aula, seria o equivalente a:

a) Nota 1 na 1ª prova e nota 6 de participação
b) Nota zero na 2ª prova e nota 7 de participação
c) Nota 8 de participação considerando a média 6 nas 2 provas
d) Nota 9 de participação independente das notas das provas
e) Nota 9 de participação considerando a média 6 nas 2 provas

sábado, 31 de maio de 2014

Euler e o Problema de Basileia

   Imagine 2 números diferentes quaisquer... some-os! Agora imagine a soma de 3, 4, 5 ou mais parcelas. Sempre é possível somar? E se for uma adição com infinitas parcelas? Euler (fala-se Óiler), conhecido como o príncipe dos matemáticos, contrariando o senso comum, fez isso com a sequência numérica conhecida como a soma dos inversos dos quadrados inteiros positivos:
   O mestre de todos nós é conhecido pela sua obra grandiosa. São contribuições no Cálculo diferencial e integral, Teoria dos Grafos, até mesmo na Matemática Recreativa. O Problema de Basileia (cidade da Suíça, onde Euler residia) é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengolie resolvido por Leonhard Euler em 1735. Considerando que o problema não foi resolvido pelos matemáticos da época, a solução consagrou-o rapidamente aos vinte e oito anos.
   Bom... para compreendermos melhor a tal façanha “euleriana” que tal começarmos com a soma de algumas sequências mais simples:
E antes que alguém me pergunte a tal soma:

Mais sobre Euler e o problema da Basileia em (1) e (2).

quarta-feira, 30 de abril de 2014

Linguagem universal

“Não pode haver linguagem mais universal nem mais simples, mais livre de erros e de obscuridades, isto é, mais digna de exprimir as relações invariáveis da coisas naturais (…)”

Joseph Fourier

domingo, 30 de março de 2014

Você sabia...

A Aritmética é o ramo da Matemática que lida com os números e operações. É o ramo mais antigo e mais elementar da Matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios. Acesse aqui uma apostila da OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, destinada aos alunos medalhistas que fazem o Programa de Iniciação Científica e que trata do assunto. Pense no seguinte problema: "No universo aritmético, qual o número que ao quadrado aumenta em 500 % ?

sexta-feira, 28 de fevereiro de 2014

Você sabia que ...



Pitagóricos é o nome pelo qual ficaram conhecidos os discípulos ou continuadores das ideias de Pitágoras, filósofo e matemático grego, nascido em 571 a.C. na cidade de Samos. Pitágoras fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), a Escola Pitagórica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental. Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números – para eles o número era considerado como essência das coisas.
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"Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base." (Auguste Conté - Filósofo francês, pai da Sociologia e do Positivismo)