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terça-feira, 30 de setembro de 2014

Curiosidade...

O alemão David Hilbert, freqüentemente considerado um dos maiores matemáticos do século XX, principalmente pela proposição de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje, ao perceber que um de seus alunos tinha parado de vir às suas aulas e alguém lhe disse que o aluno havia decidido abandonar a Matemática para se tornar poeta, Hilbert respondeu: “É bom – ele não tinha imaginação suficiente para se tornar um matemático”.

sábado, 30 de agosto de 2014

Convenções em Matemática: Sem equívocos

Veja três versões da mesma resposta para uma equação algébrica. Qual você prefere?
Alguma dessas versões é mais fácil de ler e, ao mesmo tempo, elegante em sua escrita? Perceber e adotar convenções matemáticas pode tornar sua notação uniforme, compreensível e um pouco mais fácil de ser comparada com outras expressões algébricas.
Assim, convencionar é estabelecer, dentro de um determinado contexto, certas normas que posteriormente serão usadas. Essas normas nascem de uma necessidade prática e devem ser aceitas e adotadas por aqueles que ensinam e estudam matemática. As convenções também evitam que não haja mal uso ou má interpretação de quaisquer objetos com os quais se trabalhe, e ainda pode estabelecer certos casos complementares de uma definição.
Por exemplo, a raiz quadrada de um número real positivo a é definida como sendo o número real positivo r tal que a = r²Mas nessa definição, se r satisfizesse a equação anterior, então −r também satisfaria a equação, já que r² = (−r)². Dessa forma, se não houvesse restrição ao sinal de r, então todo número positivo teria duas raízes, uma positiva e outra negativa e, ao falarmos sobre “raiz quadrada de um número”, a qual delas estaríamos nos referindo? Já em outros casos, dependendo do uso que se irá fazer, pode-se convencionar que:
Quando alguém for trabalhar com raízes, deve convencionar, logo de início, o que significa “raiz”. Dessa maneira não haverá ambiguidades. Pensando assim, adotaremos a definição de raiz quadrada que demos no início do parágrafo. O que dizer então da ordem das coordenadas de um ponto P(x,y) no plano cartesiano? Podem ser representadas como P(y,x)Outro exemplo: o número 0(zero) é ou não um número natural? Depende do que você previamente convencione! Se o importante é usar o conjunto dos números naturais para contar, então não faz sentido colocar o zero. Atente que ninguém começa a contar a partir do zero: “zero, um, dois, três, etc”. Caso o que se precise seja a existência de um elemento neutro da adição no conjunto dos números naturais, então se considera o zero como um número natural. Tudo se resume a previamente estabelecer a definição dos objetos que irá usar. Como último exemplo, define-se fatorial de um número natural n como:
n! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ... · 3 · 2 · 1
Ora, esta definição não faz sentido para n=0, mas, na prática, o número 0! (zero fatorial) aparece. Por necessidade prática, convenciona-se que 0! = 1, caso que não aparece na definição geral. Há vários outros casos em que convenções desse tipo são necessárias e, o mais importante, imprescindíveis.
Lembramos novamente, que quando for utilizar ou estudar qualquer definição, é prudente logo de início, deixar e observar todos os conceitos claramente explicados e entendidos e o que cada palavra utilizada na definição há de significar!

*Adaptado do livro de  Daniel Cordeiro de Morais Filho - Um convite á Matemática                                   

quarta-feira, 30 de julho de 2014

Dica do mestre


Em um dos livros do ilustre Prof. Geraldo Ávila encontramos a dica:

“Ninguém aprende Matemática ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas claras que sejam as suas preleções, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso ajuda muito, mas é preciso estudar por conta própria logo após as aulas, antes que o benefício delas desapareça com o tempo. Portanto, você, leitor, não vai aprender Matemática porque assiste aulas, mas por que estuda. E esse estudo exige muita disciplina e concentração: estuda-se sentado á mesa, com lápis e papel a mão, prontos para serem usados a todo momento. Você tem de interromper a leitura com frequência, para ensaiar a sua parte: fazer um gráfico ou diagrama, escrever alguma coisa ou simplesmente rabiscar uma figura que ajude a seguir o raciocínio do livro, sugerir ou testar uma ideia; escrever uma fórmula, resolver uma equação ou fazer um cálculo que verifique se alguma afirmação do livro está mesma correta. Por isso mesmo, não espere que o livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrário, esse leitor será induzido a uma situação passiva, quando o mais importante é desenvolver as habilidades para o trabalho independente, despertando a capacidade de iniciativa individual e a criatividade. Você estará fazendo progresso realmente significativo quando sentir que está conseguindo aprender sozinho, sem ajuda do professor; quando sentir que está realmente “aprendendo a aprender...”.

Inspire-se...

segunda-feira, 30 de junho de 2014

Fazendo média aritmética


  Um professor aplica 2 provas com nota de zero até 10, por bimestre, e faz a média aritmética entre as notas. Para gerar a nota bimestral, ele ainda acrescenta 1 ponto de participação nas atividades em aula. Supondo que ele atribuísse uma nota de zero até 10, também, para a participação nas atividades em aula e fizesse a média entre as 3 notas, um aluno que ficou com média 6 em duas provas e teve mais 1 ponto de participação nas atividades em aula, seria o equivalente a:

a) Nota 1 na 1ª prova e nota 6 de participação
b) Nota zero na 2ª prova e nota 7 de participação
c) Nota 8 de participação considerando a média 6 nas 2 provas
d) Nota 9 de participação independente das notas das provas
e) Nota 9 de participação considerando a média 6 nas 2 provas

sábado, 31 de maio de 2014

Euler e o Problema de Basileia

   Imagine 2 números diferentes quaisquer... some-os! Agora imagine a soma de 3, 4, 5 ou mais parcelas. Sempre é possível somar? E se for uma adição com infinitas parcelas? Euler (fala-se Óiler), conhecido como o príncipe dos matemáticos, contrariando o senso comum, fez isso com a sequência numérica conhecida como a soma dos inversos dos quadrados inteiros positivos:
   O mestre de todos nós é conhecido pela sua obra grandiosa. São contribuições no Cálculo diferencial e integral, Teoria dos Grafos, até mesmo na Matemática Recreativa. O Problema de Basileia (cidade da Suíça, onde Euler residia) é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengolie resolvido por Leonhard Euler em 1735. Considerando que o problema não foi resolvido pelos matemáticos da época, a solução consagrou-o rapidamente aos vinte e oito anos.
   Bom... para compreendermos melhor a tal façanha “euleriana” que tal começarmos com a soma de algumas sequências mais simples:
E antes que alguém me pergunte a tal soma:

Mais sobre Euler e o problema da Basileia em (1) e (2).

quarta-feira, 30 de abril de 2014

Linguagem universal

“Não pode haver linguagem mais universal nem mais simples, mais livre de erros e de obscuridades, isto é, mais digna de exprimir as relações invariáveis da coisas naturais (…)”

Joseph Fourier

domingo, 30 de março de 2014

Você sabia que ...

A Aritmética é o ramo da Matemática que lida com os números e operações. É o ramo mais antigo e mais elementar da Matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios. Acesse aqui uma apostila da OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, destinada aos alunos medalhistas que fazem o Programa de Iniciação Científica e que trata do assunto. Pense no seguinte problema: "No universo aritmético, qual o número que ao quadrado aumenta em 500 % ?
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