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quarta-feira, 30 de julho de 2014

Dica do mestre


Em um dos livros do ilustre Prof. Geraldo Ávila encontramos a dica:

“Ninguém aprende Matemática ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas claras que sejam as suas preleções, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso ajuda muito, mas é preciso estudar por conta própria logo após as aulas, antes que o benefício delas desapareça com o tempo. Portanto, você, leitor, não vai aprender Matemática porque assiste aulas, mas por que estuda. E esse estudo exige muita disciplina e concentração: estuda-se sentado á mesa, com lápis e papel a mão, prontos para serem usados a todo momento. Você tem de interromper a leitura com frequência, para ensaiar a sua parte: fazer um gráfico ou diagrama, escrever alguma coisa ou simplesmente rabiscar uma figura que ajude a seguir o raciocínio do livro, sugerir ou testar uma ideia; escrever uma fórmula, resolver uma equação ou fazer um cálculo que verifique se alguma afirmação do livro está mesma correta. Por isso mesmo, não espere que o livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrário, esse leitor será induzido a uma situação passiva, quando o mais importante é desenvolver as habilidades para o trabalho independente, despertando a capacidade de iniciativa individual e a criatividade. Você estará fazendo progresso realmente significativo quando sentir que está conseguindo aprender sozinho, sem ajuda do professor; quando sentir que está realmente “aprendendo a aprender...”.

Inspire-se...

segunda-feira, 30 de junho de 2014

Fazendo média aritmética


  Um professor aplica 2 provas com nota de zero até 10, por bimestre, e faz a média aritmética entre as notas. Para gerar a nota bimestral, ele ainda acrescenta 1 ponto de participação nas atividades em aula. Supondo que ele atribuísse uma nota de zero até 10, também, para a participação nas atividades em aula e fizesse a média entre as 3 notas, um aluno que ficou com média 6 em duas provas e teve mais 1 ponto de participação nas atividades em aula, seria o equivalente a:

a) Nota 1 na 1ª prova e nota 6 de participação
b) Nota zero na 2ª prova e nota 7 de participação
c) Nota 8 de participação considerando a média 6 nas 2 provas
d) Nota 9 de participação independente das notas das provas
e) Nota 9 de participação considerando a média 6 nas 2 provas

sábado, 31 de maio de 2014

Euler e o Problema de Basileia

   Imagine 2 números diferentes quaisquer... some-os! Agora imagine a soma de 3, 4, 5 ou mais parcelas. Sempre é possível somar? E se for uma adição com infinitas parcelas? Euler (fala-se Óiler), conhecido como o príncipe dos matemáticos, contrariando o senso comum, fez isso com a sequência numérica conhecida como a soma dos inversos dos quadrados inteiros positivos:
   O mestre de todos nós é conhecido pela sua obra grandiosa. São contribuições no Cálculo diferencial e integral, Teoria dos Grafos, até mesmo na Matemática Recreativa. O Problema de Basileia (cidade da Suíça, onde Euler residia) é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengolie resolvido por Leonhard Euler em 1735. Considerando que o problema não foi resolvido pelos matemáticos da época, a solução consagrou-o rapidamente aos vinte e oito anos.
   Bom... para compreendermos melhor a tal façanha “euleriana” que tal começarmos com a soma de algumas sequências mais simples:
E antes que alguém me pergunte a tal soma:

Mais sobre Euler e o problema da Basileia em (1) e (2).

quarta-feira, 30 de abril de 2014

Linguagem universal

“Não pode haver linguagem mais universal nem mais simples, mais livre de erros e de obscuridades, isto é, mais digna de exprimir as relações invariáveis da coisas naturais (…)”

Joseph Fourier

domingo, 30 de março de 2014

Você sabia...

A Aritmética é o ramo da Matemática que lida com os números e operações. É o ramo mais antigo e mais elementar da Matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios. Acesse aqui uma apostila da OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, destinada aos alunos medalhistas que fazem o Programa de Iniciação Científica e que trata do assunto. Pense no seguinte problema: "No universo aritmético, qual o número que ao quadrado aumenta em 500 % ?

sexta-feira, 28 de fevereiro de 2014

Você sabia que ...



Pitagóricos é o nome pelo qual ficaram conhecidos os discípulos ou continuadores das ideias de Pitágoras, filósofo e matemático grego, nascido em 571 a.C. na cidade de Samos. Pitágoras fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), a Escola Pitagórica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental. Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números – para eles o número era considerado como essência das coisas.

quinta-feira, 30 de janeiro de 2014

Matemática com palitos


Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova (sem retirar) de lugar exatamente 2 palitos, de modo a transformá-la em 4 quadrados iguais, sem sobrar nenhum palito. Você pode fazer isso com palitos ou no desenho


domingo, 29 de dezembro de 2013

Destreza ou Esperteza?

Certa vez, quando eu tinha 15 anos, um amigo da minha família afirmou que sabia fazer contas mentalmente e com muita rapidez. Para “provar” isso, propôs a seguinte brincadeira:
“Vou escrever um número com sete algarismos. Em seguida, você escreve, abaixo do meu número, outro número com sete algarismos. Repetimos isso mais uma vez, eu escrevo meu terceiro número e, então, eu direi a você, sem fazer cálculos, qual é o valor da soma dos cinco números”. Eu, um tanto desconfiado, aceitei a proposta, ocorrendo o seguinte:

 número escrito por ele: 3 574 186
 número escrito por mim: 1 247 064
 número escrito por ele: 8 752 935
 número escrito por mim: 4 955 231
 número escrito por ele: 5 044 768

Soma fornecida por ele: 23 574 184

Conferi a soma manualmente e constatei que estava correta. Fiquei atônito observando aqueles números por alguns instantes, mas nada consegui concluir. Ele propôs outra conta e novamente acertou o resultado em poucos segundos. Claro que eu sabia (ou desconfiava) que existia algum truque por trás daquilo, mas fiquei por alguns anos sem saber qual era. Vamos agora mostrar que, na realidade, tudo não passa de um pouquinho de álgebra: observe que o segundo e o terceiro números escritos por ele são construídos a partir do anterior, de modo que a soma com o anterior seja igual a 9 999 999. Veja:

  número escrito por mim + 2º  número escrito por ele:
1 247 064 + 8 752 935 = 9 999 999

  número escrito por mim + 3º  número escrito por ele:
4 955 231 + 5 044 768 = 9 999 999

observe agora que, como 9 999 999 = 10 000 000 - 1, a soma total é igual a: primeiro número somado + 2 × (10 000 000 -1) = 20 000 000 - 2, ou seja, 
(3 574 186 + 20 000 000) – 2.

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