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segunda-feira, 29 de fevereiro de 2016

Determinantes pra quê ?


... Determinante para fatorar

Há alguns anos, quando ainda existia a União Soviética, submeteu se aos participantes e uma olimpíada juvenil de Matemática a seguinte questão, aparentemente simples:


Fatorar a expressão a³ + b³ + c³ – 3abc

Mesmo bons professores de Matemática, se não conhecerem algum truque, terão dificuldade em resolver esse problema pelo método direto. Quem duvidar, que o tente.

Entretanto, a teoria dos determinantes dá uma solução fulminante ao problema. Vejamos: seja o determinante:


,

exatamente a expressão que desejamos fatorar. O determinante não se altera se substituímos, por exemplo, a primeira linha da matriz por sua soma com as duas outras, ou seja,





e o problema foi resolvido.

Muitos realmente são os caminhos da Matemática e precisamos ter a mente aberta e desbloqueada para encontrá-los.
Adaptado do artigo
Usando determinantes para fatorar 
Gilberto Garbi, RPM 41.

Este e outros artigos podem ser encontrados aqui.

quarta-feira, 30 de dezembro de 2015

Experimente II


      Distribuir os números de 1 a 9 dentro dos pontos alaranjados (de intersecção), sem repetir, de forma que a soma dos números pertencentes à circunferência externa seja exatamente igual à soma dos números pertencentes a cada uma das circunferências internas.


Este ( em pdf ) e outros problemas podem ser encontrados aqui.

segunda-feira, 30 de novembro de 2015

Woody na encruzilhada


O famoso cineasta americano Woody Allen proferiu a seguinte frase: “Mais do que em qualquer outra época, a humanidade está numa encruzilhada. Um caminho leva ao desespero absoluto. O outro, à total extinção. Vamos rezar para que tenhamos a sabedoria de saber escolher.” Da genialidade desde grande homem, independente do contexto no qual a frase foi dita, parafraseá-lo-emos com um belo probleminha: 

Ao chegar numa encruzilhada Woody se depara com três placas conforme a ilustração abaixo. Ele sabe que somente em uma das placas está escrito a verdade e com indiscutível genialidade decide pelo caminho verdadeiro. Pense, divirta-se, más argumente e conclua qual foi o caminho escolhido.



sexta-feira, 30 de outubro de 2015

Experimente !


O objeto interativo no final deste post faz parte da bela série em 13 programas conhecida como “Arte & Matemática” da TV cultura. Embora tenha sido exibida há algum tempo é atualíssima e inovadora. A série ficou mais consagrada pelos 13 vídeos em que trata das relações entre a Arte e a Matemática. A proposta apresenta a evolução paralela entre as descobertas matemáticas e as manifestações da Arte. Ambas mostram diferentes maneiras de ver e sentir o mundo, a natureza, a vida. Ambas tiram das formas concretas da natureza visões e leituras, sempre novas, e, contudo traduzem suas leituras de formas abstratas. O objetivo aqui é destacar o site que ainda está no ar ( e espero que eternamente ), e com as palavras de Malba Tahan, agradecer aos seus criadores, que ¹Allah os tenha em sua glória!
Vamos ao objeto? Observe a figura abaixo e tente colocar os números de 1 a 14 neste diagrama de forma que cada linha de quatro círculos some 30. Cinco números já foram colocados. utilize este link: , para interagir. Experimente!

 Clique na figura para acessar a animação

¹Trecho da dedicatória do livro: O Homem que Calculava escrito por Malba Tahan

domingo, 30 de agosto de 2015

Vamos falar de semelhança na Geometria Espacial ?


Dois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais.


Dessa forma:

k é chamado razão de semelhança.
• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, perímetros, inraios, circunraios, etc.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre as áreas é .
• Considerando os resultados acima, na geometria espacial, quando temos dois sólidos semelhantes, dizemos que a razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança, isto é, .

Exemplo:
Numa pirâmide com altura de 30 cm e área da base igual a 150 cm². Usando semelhança de sólidos geométricos, podemos determinar a área da secção superior do tronco de pirâmide obtido quando seccionamos paralelamente à base e a 17 cm dela. Veja:

Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção transversal), podemos concluir que:

h = 30 – 17 = 13 e desta forma a razão de semelhança entre a pirâmide menor (acima do corte) e o tronco de pirâmide (abaixo do corte) é k = 13/30 ;

  ,  Assim


Logo, a área da secção é aproximadamente igual a 28,2 cm².

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