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sexta-feira, 30 de janeiro de 2015

Lei dos senos: não basta aplicá-la


"Em um triângulo ABC, com lados medindo a, b e c, qualquer que seja esse triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles". Essa afirmação é conhecida como Lei dos senos ou Teorema dos senos. Podemos comprovar que a razão, decorrente dessa proporção, entre a medida de um lado do triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao dobro da medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo." 


Vamos a demonstração:

Como todo triângulo é inscritível, inscreva o triângulo ABC em uma circunferência e trace um diâmetro partindo de um dos vértices do triângulo, como na figura abaixo:


Pelo fato de BP ser um diâmetro, segue que BCP = 90º (veja aqui). Usando o seno como uma razão trigonométrica no triângulo retângulo, têm-se:


Analogamente concluímos que:


Bom... agora assista uma aplicação desse teorema aqui.

terça-feira, 30 de dezembro de 2014

O grau ( ° ), o radiano ( rad ) e o π


A parte da circunferência definida entre dois pontos é chamada de arco. As medidas mais tradicionais de um arco são o grau ( ° ) e o radiano ( rad ). Qual a relação entre estes dois objetos, ou seja, entre essas duas medidas? O arco de um grau é a trecentésima sexagésima parte de uma circunferência, enquanto que o radiano é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência.


Observação: O termo “radiano” pode ser suprimido quando não houver dúvida que o arco em questão está em radiano.

Como já sabemos a constante π é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, ou seja, π é igual ao arco total ( uma volta completa ) dividido pelo seu diâmetro e isso nos leva a concluir que a medida do arco de uma circunferência em radianos é igual a 2π. Veja:



Uma consequência do resultado anterior é que uma circunferência é um arco de 360° , ou 2π radianos e dessa forma estabelecemos uma relação importante onde cada π rad é igual a 180°. Veja a animação a seguir e que ilustra esse fato  .

domingo, 30 de novembro de 2014

Nossos Premiados na OBMEP 2014!


Parabéns a todos os alunos da Escola Estadual Prefeito Antônio Prátici que participaram da 10ª Olimpíada Brasileira de Matemática e com muita alegria recebemos os premiados.

Premiados com medalhas:
JoHNSON SALVADOR MIYASAKI ( ouro )
Leonardi da Silva Alexandria ( Bronze )

Premiados com menção honrosa:
Iggor Cassio dos Santos Alves
JOHNATAN RODRIGUES OLIVEIRA
LUCAS ANDREW LOPES
MALCOLM DA COSTA VALLE
MARCELO SENA SOUZA JUNIOR
gabriel dos santos silva
GEOVANNA D’ONOFRIO DE MORAES
iago bandeira de souza
IGOR OLIVEIRA DE MELO
KEMUEL MIRRAI NUNES DE CARVALHO
LUCAS DOMINIQUE DA COSTA VALLE
NATHANN SANTOS OLIVEIRA
EDUARDO SENA GUERREIRO CHAVES
GABRIEL DIAS MOTA SILVA
IGOR DE MORAES SAMPAIO
IGOR TOMACHIGE C. DO NASCimento
LARISSA BISPO DOS SANTOS
MATHEUS ALEXANDER BUENO VIEIRA
RENATO ANDRADE LIMA

Consulte o site oficial: OBMEP
Leia também as instruções sobre o PIC(Programa de Iniciação Científica Jr.). Acesse aqui.

quinta-feira, 30 de outubro de 2014

Você sabia que...



As relações trigonométricas na circunferência foram estabelecidas inicialmente pelos gregos, sendo o astrônomo Hiparco (c. 180 - 125 a.C.) um dos seus mais importantes contribuintes. Um dos sucessores de HiparcoCláudio Ptolomeu (90 d.C. -  150 d.C.) astrônomo, geógrafo, físico e matemático da Universidade de Alexandria nascido no Egito, construiu uma notável tábua de cordas determinadas pelo ângulo central de uma circunferência. Essa tábua de cordas equivale ao que conhecemos hoje como tabela trigonométrica dos senos.

terça-feira, 30 de setembro de 2014

Curiosidade...

O alemão David Hilbert, freqüentemente considerado um dos maiores matemáticos do século XX, principalmente pela proposição de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje, ao perceber que um de seus alunos tinha parado de vir às suas aulas e alguém lhe disse que o aluno havia decidido abandonar a Matemática para se tornar poeta, Hilbert respondeu: “É bom – ele não tinha imaginação suficiente para se tornar um matemático”.

sábado, 30 de agosto de 2014

Convenções em Matemática: Sem equívocos

Veja três versões da mesma resposta para uma equação algébrica. Qual você prefere?
Em qual dessas versões é mais fácil a leitura e, ao mesmo tempo, elegante em sua escrita? Perceber e adotar convenções matemáticas pode tornar sua notação uniforme, compreensível e um pouco mais fácil de ser comparada com outras expressões algébricas.
Assim, convencionar é estabelecer, dentro de um determinado contexto, certas normas que posteriormente serão usadas por todos. Essas normas nascem de uma necessidade prática e devem ser aceitas e adotadas por aqueles que ensinam e estudam matemática. As convenções também evitam que não haja mal uso ou má interpretação de quaisquer objetos com os quais se trabalhe, e ainda pode estabelecer certos casos complementares de uma definição.
Por exemplo, a raiz quadrada de um número real positivo a é definida como sendo o número real positivo r tal que a = r²Mas nessa definição, se r satisfizesse a equação anterior, então −r também satisfaria a equação, já que r² = (−r)². Dessa forma, se não houvesse restrição ao sinal de r, então todo número positivo teria duas raízes, uma positiva e outra negativa e, ao falarmos sobre “raiz quadrada de um número”, a qual delas estaríamos nos referindo? Já em outros casos, dependendo do uso que se irá fazer, pode-se convencionar que:
Quando alguém for trabalhar com raízes, deve convencionar, logo de início, o que significa “raiz”. Dessa maneira não haverá ambiguidades. Pensando assim, adotaremos a definição de raiz quadrada que demos no início do parágrafo. O que dizer então da ordem das coordenadas de um ponto P(x,y) no plano cartesiano? Podem ser representadas como P(y,x)Outro exemplo: o número 0(zero) é ou não um número natural? Depende do que você previamente convencione! Se o importante é usar o conjunto dos números naturais para contar, então não faz sentido colocar o zero. Atente que ninguém começa a contar a partir do zero: “zero, um, dois, três, etc”. Caso o que se precise seja a existência de um elemento neutro da adição no conjunto dos números naturais, então se considera o zero como um número natural. Tudo se resume a previamente estabelecer a definição dos objetos que irá usar. Como último exemplo, define-se fatorial de um número natural n como:
n! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ... · 3 · 2 · 1
Ora, esta definição não faz sentido para n=0, mas, na prática, o número 0! (zero fatorial) aparece. Por necessidade prática, convenciona-se que 0! = 1, caso que não aparece na definição geral. Há vários outros casos em que convenções desse tipo são necessárias e, o mais importante, imprescindíveis.
Lembramos novamente, que quando for utilizar ou estudar qualquer definição, é prudente logo de início, deixar e observar todos os conceitos claramente explicados e entendidos e o que cada palavra utilizada na definição há de significar!

*Adaptado do livro de  Daniel Cordeiro de Morais Filho - Um convite á Matemática                                   
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