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sexta-feira, 30 de setembro de 2016

TFA e as equações de grau ≥ 5


   A expressão a seguir, representa uma equação polinomial ou algébrica de grau n, n  N.
an.xn + an-1.xn-1 + ... + a2.x2 + a1.x + a0 = 0
Nela:
- x é a incógnita;
- ai R (i = 0, 1, 2, ... , n) são os coeficientes da incógnita.

Lodovico Ferrari
   O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), demonstrado em 1801 por Carl Friedrich Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmetica, (veja a versão original em latimnos diz que essa equação admite pelo menos uma raiz complexa (que pode ser um número real ou não). Dessa forma, toda equação algébrica de grau n ≥ 1 admite n raízes. Resolver essa equação consiste em encontrar valores para x que tornam a equação verdadeira. Estes valores são chamados soluções ou raízes da equação polinomial.
   Quando estudamos equações algébricas de 2º grau, estamos habituados a utilizar a fórmula de Báskara para resolvê-la, ou seja,  em equações do tipo ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, temos:



   Grandes matemáticos tentaram resolver equações completas de grau n ≥ 3. Obtiveram sucesso para n = 3 (fórmula de Cardano) e n = 4 (fórmula de Ferrari). Os matemáticos Evariste Galois e Niels Henrik Abel demonstraram (Abel o fez com 19 anos e em 1824!) que não é possível obtermos fórmulas resolventes para equações algébricas de grau superior a quatro. Se você é um estudante da educação básica, então é bom saber que não existem tantas fórmulas semelhantes a de Báskara para resolver equações ok?. Até mais!😊


terça-feira, 30 de agosto de 2016

Definição do Quadrado (... simples quadrado)



O que é um quadrado ?

É uma figura geométrica plana com 4 lados iguais e quatro ângulos retos.
E sobre ele, o que mais podemos dizer ? Há muito mais aqui: 


sábado, 30 de julho de 2016

Olimpíada de Matemática para os países lusófonos

     
     Considerada a maior olimpíada de Matemática do mundo, a OBMEP, com mais de uma década, está consagrada pela contribuição ao ensino de Matemática em nosso país. E sem dúvidas, é uma política assertiva com estudos e pesquisas que confirmam sua influência positiva na qualidade da educação pública. Esperamos que seja duradoura e que todos, gestores, professores, alunos e família do aluno, se envolvam cada vez mais. Inúmeras outras são as Olimpíadas de Matemática no Brasil e no mundo, más você já ouviu falar de Olimpíada de Matemática da Lusofonia (OML)? Ora pois, já está na 7ª edição e é uma competição entre jovens estudantes não universitários de países lusófonos, cujos objetivos são:

• A melhoria da qualidade do ensino e a descoberta de talentos em matemática, fundamental para o desenvolvimento científico e tecnológico;
• Fomentar o estudo da Matemática nos países lusófonos;
• A criação de uma oportunidade para a troca de experiências educacionais nacionais;
• A união e cooperação entre os países lusófonos para a criação de instrumentos que permitam a competição de alunos numa olimpíada internacional para os países de língua portuguesa.

   Esta competição teve início em Julho de 2011, em Coimbra, com a designação de Olimpíadas de Matemática da Lusofonia (OML). No ano seguinte a designação foi alterada passando a se chamar “Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa (OMCPLP)” em virtude do apoio expresso da CPLP. Atualmente os países participantes enviam seus times compostos de até quatro estudantes. Os participantes devem ter menos de 18 anos e não podem estar cursando o ensino universitário. A competição consta de duas provas escritas de quatro horas e meia de duração cada uma, e que se realiza em dois dias consecutivos. Cada prova é constituída de três problemas. 

     Independente do público e da dimensão de cada uma destas competições o bom é destacar que os materiais didáticos e/ou problemas produzidos e apresentados podem ser aproveitados para uso em sala de aula com nossos alunos e por fim, despertar debates e estudos relacionadas à Matemática.

quinta-feira, 30 de junho de 2016

O Papel da Matemática no Mundo


Para refletirmos...
O Papel da Matemática no Mundo e na História ( Fonte : * )



     A Matemática, desde os primórdios da civilização até a atualidade, desempenha um papel importante na sociedade em geral e, particularmente, no mundo da ciência e do trabalho. A Resolução da UNESCO, de 11 de novembro de 1997, por ocasião da instituição do evento 2000: Ano Mundial da Matemática, ressalta a importância dessa ciência, com justificativas que vão do entendimento de que sua linguagem e seus conceitos são universais, contribuindo para a cooperação internacional; ao fato dela guardar uma profunda relação com a cultura dos povos, tendo grandes pensadores contribuído ao longo de milhares de anos para o seu desenvolvimento; ao papel que ela desempenha na atualidade e às aplicações que tem em vários campos, contribuindo para o desenvolvimento das ciências, da tecnologia, das comunicações, da economia, etc; à contribuição que ela dá, particularmente nos níveis das escolas fundamental e média, para o desenvolvimento do pensamento racional. Outras justificativas podem ser acrescidas a essas, como as das contribuições para o desenvolvimento do pensamento intuitivo, fortemente presente na Matemática a partir de meados do Século XIX, bem como para o entendimento da construção do Universo por meio de modelos abstratos, resultantes da Matemática constituída em ciência investigativa.
     Como ciência a Matemática se encontra em plena vitalidade. Tendo contribuído com a sociedade desde as antigas civilizações, está hoje presente nas mais altas esferas do pensamento científico, assim como nas mais diversas aplicações tecnológicas. Dentre estas destacam-se as áreas de criptografia, codificação de sinais (com extensas aplicações na medicina e comunicações), códigos e algoritmos corretores de erros, complexidade computacional, incluindo o problema P=NP, modelos de equilíbrio para a economia, algoritmos de otimização (problemas de otimização linear), equação de Navier-Stokes, com aplicações à meteorologia e hidrodinâmica. Existe, entre as mais diversas ciências e a Matemática, uma interdisciplinaridade intensa, com uma permutação de conceitos e técnicas que proporcionam grande progresso para ambas as partes. Destacamos as contribuições recíprocas entre a Matemática e a Computação, a Biologia, a Física, a Astronomia, a Química, assim como com as ciências do comportamento e da Educação.
     Quanto ao progresso teórico da Matemática e possibilidades futuras, são inúmeros e de grande importância os problemas em aberto e as áreas em expansão conceitual e técnica. Dentre os problemas destacamos a Hipótese de Riemann, a Conjectura de Poincaré (para esta existe uma proposta de demonstração, a ser confirmada), problemas em equações diofantinas, sistemas dinâmicos, a conjectura do jacobiano, algoritmos rápidos para resolução de equações. Quanto às áreas em expansão, destacamos o programa Langland, objeto de recente premiação com a Medalha Fields, que propõe uma unificação de várias áreas da Matemática. Citamos ainda as áreas de Dinâmica Complexa, Teoria dos Números, Topologia, Equações Diferenciais Parciais, Geometria Diferencial, Geometria Algébrica, Geometria Combinatória, Álgebra Computacional, Análise Geométrica, dentre outras.
     O ensino da Matemática existe desde os primórdios da civilização. O antigo papiro egípcio denominado Papiro de Ahmes, assim como as tabletas das bibliotecas sumerianas, atestam o uso de problemas para o ensino da Matemática há milhares de anos. A organização do conhecimento matemático na antiga Grécia serviu de modelo por muitos séculos para outras ciências, e naquele tempo Platão investigava a gênese dos conceitos matemáticos, propondo modelos de ensino em sua famosa academia. Hoje o ensino da Matemática passa por um momento de intensas pesquisas, impulsionadas pela disseminação das escolas para as massas, trazendo novos desafios. Foi revitalizado o método de ensino da Matemática através de problemas por pesquisadores como G. Polya, P. Halmos e outros. Foi impulsionado o uso da História da Matemática para auxiliar na construção de seqüências ensino-aprendizagem desvinculadas do ensino linear. Foi proposto o método genético para o ensino da Matemática por matemáticos como F. Klein, O. Toeplitz, H. Edwards e A. Simis. Mais recentemente o ensino em rede tem sido considerado como uma alternativa ao ensino tradicional.

segunda-feira, 30 de maio de 2016

Experimente III


         A figura abaixo é composta por quatro grandes círculos que se intersectam nos pontos alaranjados. Distribuir os números de 1 a 12 dentro dos pontos alaranjados, sem repetir, de forma que a soma sobre cada circunferência seja a mesma?




Este ( em pdf ) e outros problemas semelhantes podem ser encontrados aqui.

sábado, 30 de abril de 2016

Quer aprender Matemática? – Observe os padrões!

Problema 1
1 = 1²
1 + 3 = 2² 
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²
 ...

Quanto é a soma dos 10 primeiros ímpares positivos ?

Problema 2
1³ = 1²
1³ + 2³ = (1 + 2)²
1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)² 
...

Quanto é a soma dos cubos dos 10 primeiros inteiros positivos ?

Problema 3
1³ = 1²
2³ = 3²
3³ = 6²
4³ = 10²
 ...

Quanto é o valor de:
 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ ?

quarta-feira, 30 de março de 2016

A alteração


Observe as quatro sentenças a seguir. Obviamente são falsas! Parecem ter sido construídas ao acaso. Mas não foram.


Com um pouco de atenção e investigação, podemos fazer uma mesma alteração em cada um dos doze números que aparecem e tornamos as sentenças verdadeiras. Qual alteração devemos fazer mantendo as operações originais?

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