Seja bem-vindo(a). Hoje é
►| CEM| A²C | P & D| MATEMÁTICA| AUTORES| CONTATO| JOGOS| *

Notícias & Lembretes

►Vai encarar o ENEM este ano? Inicie os estudos fazendo as provas das edições anteriores. Acesse-as aqui.

►Que tal fazer agora um simulado on-line para o ENEM? Acesse-o aqui.

Os problemas de lógica, entre outros, apresentados em aula (26/6): soluções aqui.

Obmep 2016 ... Vamos relembrar a história de 4 jovens na OBMEP ? Veja o documentário aqui

►Conhece o vestibulinho das ETEC's(Escolas Técnicas Estaduais-SP)? Tenha acesso as provas anteriores, cursos e período de inscrição. Mais informações acesse aqui.

►Conhece o PASUSP? Um importante programa de Avaliação da USP destinado a alunos do 2º e 3º ano do EM da rede pública paulista.

►Conheça o programa VENCE - Rede de Ensino Médio Técnico da SEE-SP.

Conheça o SISU - Sistema de Seleção Unificada para o ensino superior / SISUTEC - Sistema de Seleção para a Educação profissional tecnológica do MEC (Ministério da Educação) e saiba como aproveitar a nota do ENEM para ingresso em cursos superiores e técnicos de instituições públicas.

sábado, 30 de maio de 2015

O teorema de Euclides e a Wikipédia


A democratização do conhecimento pela internet é algo indiscutivelmente necessária, admirável, magnífica, etc. São inúmeras as iniciativas e possibilidades, me surpreendo muito ainda. É claro que ao certificarmos uma informação ou conhecimento, é preciso antes consultar e comparar diversas fontes e uma delas, eventualmente, pode ser a Wikipédia. Num dia destes, estava a rever um teorema bastante importante na teoria dos números, o Teorema de Euclides, e como professor de Matemática, fui visitar primeiro um velho livrinho* que tenho guardado em meu acervo e lá, observar como é apresentado o tal. O meu olhar naturalmente estava influenciado pela clareza, pela didática, etc., ou seja, como o assunto é exposto. Procurei ainda em mais um ou dois livros e não satisfeito, fui em seguida ao Google observar outras referências e surpreendentemente calho na... Wikipédia! O tal teorema estava ali, didaticamente acessível, melhor apresentado e comprovado do que no meu surrado livrinho. Não resisti e transcrevo-o a seguir.


Considerando L, uma lista finita qualquer de números primos:
L = { p1, p2, p3, ... , pn
Pode-se mostrar que existem números primos que não estão nessa lista. 

Veja como:
Sendo P o produto de todos os números primos na lista:

P = p1 × p2 × p3 × ... × pn  e  q = P + 1

Então, q pode ser primo ou não:

Se q é primo então há pelo menos um número primo a mais que não está listado.

• Se q não é primo, então algum fator primo p divide q. Esse fator p não está na nossa lista L. Se estivesse, ele dividiria P (pois P é o produto de todos os números na lista); mas como sabemos, p divide P + 1 = q. Então, para não deixar resto, p teria que dividir a diferença entre os dois números, que é (P + 1) − P ou seja, 1. Mas não existe número primo que divida 1, assim haveria uma contradição, logo, p não pode estar na lista. Isso significa que pelo menos mais um número primo existe além dos que estão na lista.

Isso nos prova que para qualquer lista finita de números primos, há um número primo que não está na lista. Portanto, existem infinitos números primos.

Depois do exposto, convenhamos, só nos resta dizer: É urgente a democratização do conhecimento (e do acesso livre a internet, principalmente nas escolas).

Veja os 30 primeiros números primos : 

quinta-feira, 30 de abril de 2015

A beleza... do binômio de Newton



Fernando Pessoa, poeta português, sob o pseudônimo de Álvaro de Campos, escreveu em 1935 um pequeno poema sobre a relação entre a Matemática e a arte:

"O binômio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. 
O que há é pouca gente para dar por isso (...)".

Então vamos ao binômio:



Entenda o assunto neste link e em seguida pratique-o aqui

sábado, 28 de março de 2015

Para que serve a Matemática ?


Vivemos respondendo perguntas do tipo: Para que serve a Matemática? E numa sociedade consumista como a nossa... convenhamos, somos criativos. O matemático Português Eduardo Saenz de Cabezon nos oferece a sua resposta e confirma a beleza da Matemática, que não é senão a espinha dorsal da Ciência.



sábado, 28 de fevereiro de 2015

Os coelhos de Fibonacci



Já ouviu falar na sequência de Fibonacci ? Ela aparece no Liber Abbaci sob a forma de um problema:

Um senhor colocou um casal de coelhos num cercado. Quantos casais de coelhos podem ser gerados a partir desse casal ao fim de um ano, sabendo que, por mês, cada casal gera um novo casal, que se reproduz no segundo mês de vida?

Este problema tem uma resolução simples. No primeiro mês, existe apenas o casal de coelhos inicial. No segundo mês, este ficou mais maduro, porém não está ainda na fase reprodutiva. No terceiro mês, nasceu outro casal. No quarto mês, o casal inicial teve outro casal, enquanto os seus primeiros filhos cres­ciam. No quinto mês, tanto o casal inicial como os seus primeiros filhos, já em fase reprodutiva, tiveram dois novos casais de coelhos, etc. A sequência que se origina é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Esta sequência, conhecida como sequência de Fibonacci, está relacionada com estudos de crescimentos populacionais de várias espécies da natureza. Na ilustração abaixo temos situação relativa ao crescimento popula­cional dos coelhos (admitindo não haver mortes) – os casais de coelhos pequenos acabaram de nascer.


Temos, portanto, um padrão: cada termo é obtido somando - se ...
sequência de Fibonacci não aparece apenas na natureza. Ficou curioso? Encontre a resposta para o problema e pesquise um pouco mais o assunto. Você se surpreenderá!! 

sexta-feira, 30 de janeiro de 2015

Lei dos senos: não basta aplicá-la


"Em um triângulo ABC, com lados medindo a, b e c, qualquer que seja esse triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles". Essa afirmação é conhecida como Lei dos senos ou Teorema dos senos. Podemos comprovar que a razão, decorrente dessa proporção, entre a medida de um lado do triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao dobro da medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo." 


Vamos a demonstração:

Como todo triângulo é inscritível, inscreva o triângulo ABC em uma circunferência e trace um diâmetro partindo de um dos vértices do triângulo, como na figura abaixo:


Pelo fato de BP ser um diâmetro, segue que BCP = 90º (veja aqui). Usando o seno como uma razão trigonométrica no triângulo retângulo, têm-se:


Analogamente concluímos que:


Bom... agora assista uma aplicação desse teorema aqui.

terça-feira, 30 de dezembro de 2014

O grau ( ° ), o radiano ( rad ) e o π


A parte da circunferência definida entre dois pontos é chamada de arco. As medidas mais tradicionais de um arco são o grau ( ° ) e o radiano ( rad ). Qual a relação entre estes dois objetos, ou seja, entre essas duas medidas? O arco de um grau é a trecentésima sexagésima parte de uma circunferência, enquanto que o radiano é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência.


Observação: O termo “radiano” pode ser suprimido quando não houver dúvida que o arco em questão está em radiano.

Como já sabemos a constante π é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, ou seja, π é igual ao arco total ( uma volta completa ) dividido pelo seu diâmetro e isso nos leva a concluir que a medida do arco de uma circunferência em radianos é igual a 2π. Veja:



Uma consequência do resultado anterior é que uma circunferência é um arco de 360° , ou 2π radianos e dessa forma estabelecemos uma relação importante onde cada π rad é igual a 180°. Veja a animação a seguir e que ilustra esse fato  .

▼ Reflita...

"" - Pensador