O quadrado dos números "a5" e o cálculo mental

Já percebeu que o quadrado de qualquer número de 2 algarismos ou mais, que termina em 5, termina em 25? Pois é... isso é um fato. Vejamos alguns exemplos: 25² = 25 ∙ 25 = 625 ; 35² = 35 ∙ 35 = 1225 e 105² = 105 ∙ 105 = 11025. Percebeu agora? Todos possuem na posição da dezena o 2 e na unidade o 5. Mais curioso ainda é saber que podemos calcular com facilidade e mentalmente o quadrado de qualquer número que termina em cinco. Observe a ilustração:

Entendeu? Agora ficou fácil calcularmos 65². Basta multiplicarmos o 6 (das dezenas) pelo seu inteiro consecutivo, que é o 7. Escrever a resposta 42 e terminar com 25. Assim 65² = 4225. Más será que esse artifício funciona para qualquer número, de dois ou mais algarismos, terminado em 5? Funciona e podemos comprovar utilizando o quadrado da soma de dois termos: (x+y)² = x² + 2xy + y². veja:
Primeiro representamos um número qualquer de dois algarismos terminado em 5 assim:

a5 = 10a + 5 , (pois o a está ocupando a posição da dezena)

Vamos elevar ao quadrado esse número:

(10a + 5)² = 10².a² + 2.10a.5 + 5²

(10a + 5)² = 100a² + 100a + 25

(10a + 5)² = 100.a.(a + 1) + 25

Assim:

Nos exemplos, o caso do 105², podemos considerar o a = 10. A aritmética e as operações estão cheias de situações ou regras como essa e que permitem facilitar os cálculos. É um oceano a ser (re)descoberto. Conhece mais alguma?