O quadrado dos números "a5" e o cálculo mental

Já percebeu que o quadrado de qualquer número de 2 algarismos ou mais, que termina em 5, termina em 25? Pois é... isso é um fato. Vejamos alguns exemplos: 25² = 25 ∙ 25 = 625 ; 35² = 35 ∙ 35 = 1225 e 105² = 105 ∙ 105 = 11025. Percebeu agora? Todos possuem na posição da dezena o 2 e na unidade o 5. Mais curioso ainda é saber que podemos calcular com facilidade e mentalmente o quadrado de qualquer número que termina em cinco. Observe a ilustração:

Entendeu? Agora ficou fácil calcularmos 65². Basta multiplicarmos o 6 (das dezenas) pelo seu inteiro consecutivo, que é o 7. Escrever a resposta 42 e terminar com 25. Assim 65² = 4225. Más será que esse artifício funciona para qualquer número, de dois ou mais algarismos, terminado em 5? Funciona e podemos comprovar utilizando o quadrado da soma de dois termos: (x+y)² = x² + 2xy + y². veja:
Primeiro representamos um número qualquer de dois algarismos terminado em 5 assim:

a5 = 10a + 5 , (pois o a está ocupando a posição da dezena)

Vamos elevar ao quadrado esse número:

(10a + 5)² = 10².a² + 2.10a.5 + 5²

(10a + 5)² = 100a² + 100a + 25

(10a + 5)² = 100.a.(a + 1) + 25

Assim:

Nos exemplos, o caso do 105², podemos considerar o a = 10. A aritmética e as operações estão cheias de situações ou regras como essa e que permitem facilitar os cálculos. É um oceano a ser (re)descoberto. Conhece mais alguma?

Um número divino

Já falamos aqui sobre o número (pi), um número irracional muito famoso. Se você fizer uma busca na internet sobre ele verá que existem inúmeras páginas tratando do assunto. Poderá descobrir ainda muitas outras curiosidades, inclusive que existe o dia internacional do “pi”. Más será que não existem outros números curiosos em matemática? Existem. Já ouviu falar em número de ouro, por exemplo? Pois então vamos lá. É um número muito interessante e que possui propriedades, digamos “mágicas” associadas a beleza, perfeição e harmonia. O seu valor foi muito utilizado ao longo dos séculos por matemáticos, cientistas, pintores, artesãos e está também presente na natureza. Ele é representado assim:

cujo valor aproximado é 1,618034. É irracional, é claro. Muitas das construções gregas, o Partenon, por exemplo, foi construído utilizando-se como base o valor de (lê-se: fi). Vejamos uma maneira bem simples de obtermos a representação geométrica do seu valor:

“Desenhe dois quadrados unidos por um lado comum formando o retângulo ABCD, com lados que medem respectivamente 1 e 2 unidades de comprimento. A diagonal AC intersecta o lado comum aos dois quadrados no ponto P. Com centro no ponto P, traçamos uma circunferência de diâmetro 1, que intersecta AC nos pontos M e N. Assim obtemos o segmento AN cuja medida corresponde ao famoso número de ouro”. Veja a figura como fica:

Existem inúmeras outras curiosidades sobre esse número (Pesquise!), mas vou ficar por aqui com uma última provocação.(meu negócio é esse !!!). É possível, a partir da figura, comprovar algebricamente que a medida do segmento AN é o número de ouro.Você consegue? Tente. Não deixe de apresentar todos os cálculos realizados. Sucesso!

Polígono convexo?

A equação que relaciona o número de lados ( n ) e o número de diagonais ( d ) de um polígono convexo qualquer é:

Essa equação nos permite descobrir qual é a quantidade de diagonais que um polígono possui sem ter que contar uma a uma. Más o que é mesmo um polígono convexo?

Polígono é uma linha fechada e formada por segmentos de reta ou lados, onde cada lado tem apenas um ponto comum com o lado anterior e com o seguinte, mas não com os demais.

Intuitivamente, a ideia de convexo está associada a de não ser concavo, ou seja de não ter cavidades. Primeiro vamos definir figura plana convexa como sendo a região r, parte de uma superfície plana, limitada pela própria figura, onde quaisquer dois pontos X e Y dessa região tem o segmento de reta XY inteiramente contido em r. Veja:

Observando a ilustração, temos as 2 primeiras regiões(da esquerda para direita), figuras planas convexas e as 3 seguintes, figuras planas e não-convexas. Observe também que a 2ª e a 5ª região não correspondem a polígonos, más foram usadas para dar a ideia de convexidade.
Um polígono diz-se convexo quando a região por ele limitada é uma figura plana convexa. A partir da qual concluímos que toda diagonal de um polígono convexo está inteiramente contida na região por ele limitada e que um polígono convexo possui todos os ângulos internos com medida menor que 180°. Só por curiosidade existe algum polígono que o número* de lados é igual ao número de diagonais?

* Veja o post "O Cinco" do mês de agosto/2010

O plano de Descartes

A localização de um ponto no mapa, a construção de um gráfico, a localização de objetos no espaço, a descrição de uma reta por meio de equações, o deslocamento de objetos numa superfície, etc. são questões práticas que podem ser resolvidas com o Sistema de coordenadas cartesianas ou Referencial cartesiano ou ainda, conhecido como Plano cartesiano. Criado por René Descartes, o plano de Descartes é um sistema formado por dois eixos (retas numéricas), perpendiculares entre si (que forma ângulo de 90º), tendo a origem comum no ponto de intersecção entre os dois eixos. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que chamamos de quadrantes:
O eixo horizontal ou eixo dos valores para x é denominado de eixo das abscissas e o eixo vertical ou eixo dos valores para y é denominado de eixo das ordenadas. Quando os pontos nos eixos estão numerados, é possível identificarmos a orientação simplesmente pelos números contidos, mas o correto é termos uma seta na direita do eixo x e outra no topo do eixo y, indicando assim a orientação positiva das retas. Portanto as setas tem a função de indicar em que sentido crescem os números que seus pontos representam, ou seja, entre dois pontos localizados no eixo x, por exemplo, se a seta aponta para a direita a abscissa do ponto que esta a direita é maior do que a abscissa do ponto que está a esquerda, qualquer que seja o ponto.
A localização de um ponto P(x ; y) no plano cartesiano é feita através das coordenadas abscissa e ordenada, nesta ordem. A ordem das coordenadas de um ponto P no par ordenado é simplesmente convencional. Para garantir uma interpretação única, combinou-se que a abscissa seria o 1º elemento do par e a ordenada seria o 2º elemento. Desse modo, os pontos P(3 , -2) e Q(-2 , 3) são pontos distintos, localizados em diferentes quadrantes no plano.

Outra convenção é que um ponto no plano será sempre indicado com letra maiúscula. Para finalizar vale o lembrete aos alunos que colocam a seta nos dois sentidos do eixo numérico argumentando que o motivo é devido a reta ser infinita para a direita e infinita para a esquerda, isso não é certo. ok!

Quantos são os números?

Quando pensamos em números, imaginamos que exista uma grande quantidade deles e com certeza existe muita gente que sente-se incapaz de dizer quantos. Na poesia, o poeta diz: “são tantos quanto os grãos de areia do mar” ou “tão numerosos quanto as estrelas que brilham no firmamento”. Quantos são os números? Bem pior é não saber ler um número. Certa vez um aluno pasmado, após minha escrita no quadro, pergunta:

O que é isso professor?

- É um número!
- Um só?! Ele pergunta.
- É um número só, é muito grande más é um só.
- E como se fala esse número? (pasmado, expliquei)

Vejamos:

1234567891234567891234567

Inicialmente separamos de três em três da direita para a esquerda e teremos:

Esse grande número deve ser lido então:

“Um septilhão, duzentos e trinta e quatro sextilhões, quinhentos e sessenta e sete quintilhões, oitocentos e noventa e um quatrilhões, duzentos e trinta e quatro trilhões, quinhentos e sessenta e sete bilhões, oitocentos e noventa e um milhões, duzentos e trinta e quatro mil e quinhentos e sessenta e sete”.

De fato é um grande número e por maior que pareça, sempre existirá um número maior ainda. É só adicionar mais uma unidade a ele e teremos o seu sucessor:

1.234.567.891.234.567.891.234.568

E essa é uma importante característica do conjunto dos números naturais. Saber ler um número é tão importante quanto ler uma frase e muita gente não se dá conta disso.